Stochastik, Teil B, Aufgabengruppe 1

Möchte man an einer Fahrt mit einem Ausflugsschiff, das Platz für 60 Fahrgäste bietet, teilnehmen, so muss man dafür im Voraus eine Reservierung vornehmen, ohne dabei schon den Fahrpreis bezahlen zu müssen. Erfahrungsgemäß erscheinen von den Personen mit Reservierung einige nicht zur Fahrt. Für die $60$ zur Verfügung stehenden Plätze lässt das Unternehmen deshalb bis zu $64$ Reservierungen zu. Es soll davon ausgegangen werden, dass für jede Fahrt tatsächlich $64$ Reservierungen vorgenommen werden. Erscheinen mehr als $60$ Personen mit Reservierung zur Fahrt, so können nur $60$ von ihnen daran teilnehmen; die übrigen müssen abgewiesen werden.

Die Zufallsgröße $X$ beschreibt die Anzahl der Personen mit Reservierung, die nicht zur Fahrt erscheinen. Vereinfachend soll angenommen werden, dass $X$ binomialverteilt ist, wobei die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person mit Reservierung nicht zur Fahrt erscheint, $10\,\%$ beträgt. Die am Ende abgebildete Tabelle ergänzt das zugelassene Tafelwerk.

(1 BE)

Geben Sie einen Grund dafür an, dass es sich bei der Annahme, die Zufallsgröße $X$ ist binomialverteilt, im Sachzusammenhang um eine Vereinfachung handelt.

(3 BE)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass keine Person mit Reservierung abgewiesen werden muss.

(3 BE)

Für das Unternehmen wäre es hilfreich, wenn die Wahrscheinlichkeit dafür, mindestens eine Person mit Reservierung abweisen zu müssen, höchstens ein Prozent wäre. Dazu müsste die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person mit Reservierung nicht zur Fahrt erscheint, mindestens einen bestimmenten Wert haben. Ermitteln Sie diesen Wert auf ganze Prozent genau.

Das Unternhmen richtet ein Online-Portal zur Reservierung ein und vermutet, dass dadurch der Anteil der Personen mit Reservierung, die zur jeweiligen Fahrt nicht erscheinen, zunehmen könnte. Als Grundlage für die Entscheidung darüber, ob pro Fahrt künftig mehr als $64$ Reservierungen zugelassen werden, soll die Nullhypothese "Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person mit Reservierung nicht zur Fahrt erscheint, beträgt höchstens $10\,\%$ ." mithilfe einer Stichprobe von $200$ Personen mit Reservierung auf einem Signifikanzniveau von $5\,\%$ getestet werden. Vor der Durchführung des Tests wird festgelegt, die Anzahl der für eine Fahrt möglichen Reservierungen nur dann zu erhöhen, wenn die Nullhypothese aufgrund des Testergebnisses abgelehnt werden müsste.

(5 BE)

Ermitteln Sie die zughörige Entscheidungsregel.

(3 BE)

Entscheiden Sie, ob bei der Wahl der Nullhypothese eher das Interesse, dass weniger Platz frei bleiben sollen, oder das Interesse, dass nicht mehr Personen mit Reservierung abgewiesen werden müssen, im Vordergrund stand. Begründen Sie Ihre Entscheidung.

(2 BE)

Beschreiben Sie den zugehörigen Fehler zweiter Art sowie die daraus resultierende Konsequenz im Sachzusammenhang.

In der Aufgabe werden die Probleme von Überbuchungen bei einer Reiseveranstaltung durch eine Binomialverteilung modelliert.

Lösung Teilaufgabe a)

Eine Zufallsgröße ist dann binomialverteilt, wenn ihr eine Bernoullikette zugrunde liegt.

Die Wahrscheinlichkeit $p$ dafür, dass eine beliebig ausgewählte Person nicht zur Fahrt antritt (die Trefferwahrscheinlichkeit) ist aber für eine zufällig zusammengestellte Reisegruppe realistischerweise nicht konstant.

Die Zufallsgröße $X$ kann deshalb nur unter vereinfachter Annahme und nur näherungsweise als binomialverteilt angesehen werden.

Lösung Teilaufgabe b)

Damit keine Person mit Reservierung abgewiesen wird, müssen mindestens vier Personen von den 64 Personen, die schon gebucht haben, zurücktreten und dürfen nicht erscheinen.

Für die Zufallsgröße $X$ gilt demnach die Bedingung:

$P(X\geq 4)$ mit den Parameterwerten $n=64$ und $p=0{,}1$ .

Damit kann die gegebene Tabelle benutzt werden und es gilt:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}P_{0{,}1}^{64}(X\geq 4)&=&1-P_{0{,}1}^{64}(X\leq 3)&|\,\text{Tabelle}\\&=&1-\color{red}{0{,}10629}\\&=&0{,}89371\end{array}$

Hier liest du in der Tabelle ab:

Ergebnis:

Wenn 64 Personen reserviert haben, muss mit einer Wahrscheinlichkeit von rund 89,37 % keine Person abgewiesen werden, da genügend viele Personen zur Fahrt nicht antreten.

Lösung Teilaufgabe c)

$X$ beschreibe weiterhin die Anzahl nicht erscheinender Personen aus einer Menge von n = 64 Personen. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person nicht erscheint, sei $p$ .

Der "Schlüssel" zur Lösung ist folgende Überlegung:

Das Ereignis "Mindestens eine Person muss abgewiesen werden" tritt ein, wenn "höchstens drei Personen nicht erscheinen".

Wenn also gilt: $\;X\leq3$ .

Dieses Ereignis soll mit der Wahrscheinlichkeit von höchstens einem Prozent eintreten.

Also gilt:

$P_{p}^{64}(X\leq3)\leq0{,}01$ .

In der gegebenen Tabelle für die kumulierten Wahrscheinlichkeiten $\displaystyle \sum_{i=0}^{k}B(64;p;i)$ suchst du in der Zeile für $k=3$ denjenigen ersten ganzzahligen Wert für $p$ , für den der Wert kleiner als $0{,}01$ ist.

So suchst du:

Ergebnis:

Wenn zufällig ausgewählte Personen der $64$ angemeldeten Personen jeweils mit einer Wahrscheinlichkeit von $15$ Prozent nicht erscheinen, dann ist die Wahrscheinlichkeit mindestens eine Person von der Fahrt ausschließen zu müssen, kleiner als ein Prozent.

In den Teilaufgaben d), e) und f) wird der Vorgang von Überbuchungen bei den angebotenen Fahrten mihilfe von einem Hypothesentest näher untersucht und benötigt Kenntnisse über die Bedeutung der Nullhypothese sowie von Fehlern 1. und 2. Art. Die rechnerischen Ergebnisse sind im Sachzusammenhang der Aufgabenstellung zu erläutern.

Lösung Teilaufgabe d)

$X$ ist die zu testende Zufallsgröße der Anzahl der trotz Reservierung nicht erscheinenden Personen.

Der Stichprobenumfang beträgt: $n=\color{red}{200}$ .

Das Signifikanzniveau für den Fehler 1. Art beträgt: $\alpha=\color{red}{0{,}05}$ .

Die gegebene Nullhypothese $H_0$ lautet:

"Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person nicht zur Fahrt erscheint, beträgt höchstens $10\,\%$ ".

Somit: $H_0:p\color{red}{\leq}0{,}1$ .

Die Nullhypothese verlangt einen rechtsseitigen Signifikanztest mit

$A=\;\{0;1; . . .; k\}$ als Annahmebereich und

$\overline{A} =\{k+1; …; 200\}$ als Ablehnungsbereich.

Die Bedingung für den Fehler 1. Art lautet:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}\displaystyle P_{0{,}1}^{200}(X\in \overline{A})&\leq\alpha\\\displaystyle P_{0{,}1}^{200}(\color{red}{x\geq k+1})&\leq &\color{red}{0{,}05}\\\color{red}{1-}\displaystyle P_{0{,}1}^{200}(x\color{red}{\leq k})&\leq &0{,}05&|\;-1\\-\displaystyle P_{0{,}1}^{200}(x\leq k)&\leq &-0{,}95&|\cdot (-1)\\\displaystyle P_{0{,}1}^{200}(x\leq k)&\color{red}{\geq} &0{,}95&|\;\text{aus Tafelwerk} \\k&=&\color{red}{27}\end{array}$

Hinweis für die Benutzung des Tafelwerks zur Stochastik:

Du suchst im Teil Binomialverteilung für $n=200$ in der Spalte $p=0{,}1$ und liest in der Zeile für $k=27$ ab:

$\displaystyle \sum_{i=0}^{27}B(200;0{,}1;i)=0{,}95657$

Damit hast du für den Test den Annahmebereich $A$ und den Ablehnungsbereich $\overline{A}$ gefunden:.

$A=\{0;1; . . .; 27\}$

$\overline {A}= \{28;29; . . .;200\}$ .

Die Entscheidungsregel mit der dazugehörenden Konsequenz lautet also:

Würden bei einer Stichprobe mit dem Umfang von $200$ Personen mindestens $28$ Personen nicht zur Teilnahme an der Fahrt erscheinen, dann würde das Unternehmen mehr als $64$ Reservierungen zulassen.

(3 BE)

Bei dieser Wahl der Nullhypothese soll die Wahrscheinlichkeit, den Fehler irrtümlich mehr als $64$ Reservierungen zuzulassen gering, höchstens $5\,\%$ , gehalten werden.

Damit steht das Interesse, dass nicht mehr Personen mit Reservierung abgewiesen werden müssen, im Vordergrund.

(2 BE)

Der zum Test gehörende Fehler 2. Art liegt vor, wenn die Nullhypothese, d.h. die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person die reserviert hat, aber nicht erscheint höchstens $10\,\%$ ist, falsch ist und dennoch angenommen wird. D.h. es bleibt bei $64$ möglichen Reservierungen, obwohl der Anteil nicht erscheinender Personen zugenommen hat.

Im Sachzusammenhang bedeutet dies, dass der Unternehmer mit mehr nicht besetzten Plätzen zu rechnen hat und mit größerer Wahrscheinlichkeit einen finanziellen Verlust hinnehmen muss.

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