Löse folgende Ungleichungen
â3x2â4x+5â„0
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ungleichung
1. Ersetze das Relationszeichen durch ein Gleichheitszeichen
â3x2â4x+5=0
2. Quadratische Gleichung lösen
Löse die quadratische Gleichung â3x2â4x+5=0.
Du kannst die Mitternachtsformel oder die pq-Formel verwenden. Hier erfolgt die Lösung mit der Mitternachtsformel.
Lies die Werte fĂŒr a, b und c ab und setze sie in die Mitternachtsformel ein:
a=â3, b=â4 und c=5
x1,2â = 2aâb±b2â4acââ â Setze ï»ża=â3, ï»żb=â4 und ï»żc=5 ein.
= 2â (â3)â(â4)±(â4)2â4â (â3)â 5ââ â Vereinfache.
= (â6)4±16+60ââ = (â6)4±76ââ = (â6)4±2â 19ââ â Klammere 2 aus und kĂŒrze.
= â32±19ââ Du hast als Lösung x1,2â=â32±19ââ erhalten.
x1â=â32+19ââ=3â2â19ââââ2,1
und x2â=â32â19ââ=3â2+19âââ0,8
3. Lege eine Vorzeichentabelle an
Betrachte die linke Seite der Ungleichung als Funktion: f(x)=â3x2â4x+5
Erstelle eine Vorzeichentabelle fĂŒr f(x):
Ergebnis: Im mittleren Intervall I2â ist f(x)>0.
In der Ungleichung steht ein "â„". In diesem Fall gehören auch die beiden Nullstellen zum Lösungsintervall.
4. Angabe der Lösungsmenge
Somit lautet die Lösungsmenge fĂŒr die Ungleichung:
L=[3â2â19ââ;3â2+19ââ]Hast du eine Frage oder Feedback?
x2â3x+10â€0
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ungleichung
1. Ersetze das Relationszeichen durch ein Gleichheitszeichen
x2â3x+10=0
2. Quadratische Gleichung lösen
Löse die quadratische Gleichung x2â3x+10=0. Du kannst die Mitternachtsformel oder die pq-Formel verwenden. Hier erfolgt die Lösung mit der pq-Formel.
Lies die Werte fĂŒr p und q ab und setze sie in die pq-Formel ein:
p=â3 und q=10
x1,2â = â2pâ±(2pâ)2âqâ â Setze p=â3 und q=10 ein.
= â2(â3)â±(2â3â)2â10â â Vereinfache.
= 23â±49ââ10â â Erweitere 10 mit 4.
= 23â±49ââ440ââ â Fasse zusammen.
= 23â±â431ââ Der Radikand ist negativ, d.h. die quadratische Gleichung hat keine Lösung.
Der Graph der Funktion f(x)=x2â3x+10 hat keine Nullstellen. FĂŒr alle x ist f(x)î =0.
Es muss nun geprĂŒft werden, ob der Graph komplett oberhalb oder unterhalb der x-Achse verlĂ€uft. Setze einen beliebigen x-Wert in die Funktionsgleichung ein, z.B. x=0:
f(0)=02â3â 0+10=10>0
âDie Funktion f verlĂ€uft also komplett oberhalb der x-Achse.
Es gibt keinen x-Wert, der die Ungleichung x2â3x+10â€0 erfĂŒllt.
Die Lösungsmenge der Ungleichung ist somit die leere Menge:
L={}Hast du eine Frage oder Feedback?
2x2+98>28x
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ungleichung
1. Bringe zunÀchst alle Terme auf eine Seite
2x2+98 > 28x â28x â Alle Terme auf eine Seite bringen.
2x2â28x+98 > 0 Du hast die quadratische Ungleichung 2x2â28x+98>0 erhalten.
2. Ersetze das Relationszeichen durch ein Gleichheitszeichen
2x2â28x+98=0
3. Quadratische Gleichung lösen
Löse die quadratische Gleichung 2x2â28x+98=0.
Du kannst die Mitternachtsformel oder die pq-Formel verwenden. Hier erfolgt die Lösung mit der Mitternachtsformel.
Lies die Werte fĂŒr a, b und c ab und setze sie in die Mitternachtsformel ein:
a=2, b=â28 und c=98
x1,2â = 2aâb±b2â4acââ â Setze a=2, b=â28 und c=98 ein.
= 2â 2â(â28)±(â28)2â4â 2â 98ââ â Vereinfache.
= 428±784â784ââ = 428±0â = 7 Du hast als Lösung der quadratischen Gleichung die Doppelnullstelle x=7 erhalten.
3. Lege eine Vorzeichentabelle an
Betrachte die linke Seite der Ungleichung als Funktion: f(x)=2x2â28x+98
Erstelle eine Vorzeichentabelle fĂŒr f(x):
Ergebnis: In beiden Intervallen ist f(x) jeweils positiv.
Lediglich fĂŒr x=7 ist f(7)=0.
FĂŒr xâR\{7} ist also die Ungleichung erfĂŒllt.
4. Angabe der Lösungsmenge
Die Lösungsmenge ist die Vereinigungsmenge der gefundenen Lösungsintervalle.
Somit lautet die Lösungsmenge fĂŒr die Ungleichung:
L=]ââ;7[âȘ]7;â[Gleichwertig ist auch die folgende Darstellung der Lösungsmenge:
L=R\{7}Hast du eine Frage oder Feedback?