Bei einer gebrochen rationalen Funktion muss man aufpassen, wann sich das Vorzeichen im Nenner und wann das Vorzeichen im Zähler verändert.

Prinzipiell gilt: das Gesamtvorzeichen ist positiv, wenn der Zähler und Nenner dasselbe Vorzeichen haben, bei unterschiedlichen Vorzeichen ist das Gesamtvorzeichen negativ.

Betrachte zuerst den Nenner $\left(x^2+x+1\right)^2$. Da am Ende quadriert wird, ist dieser immer größer gleich 0. Du kannst dir auch überlegen, dass er nie 0 ist:

wenn du versuchst, die Nullstellen mit der Mitternachtsformel zu bestimmen, erhältst du

Da es keine Lösung gibt, hat der Nenner keine Nullstelle und ist immer positiv.

Um zu bestimmen, wann der Zähler das Vorzeichen wechselt, bestimmen wir zunächst dessen Nullstellen.

$x^4+2x^3+3x^2 \overset{\underset{\mathrm{!}}{}}{=}0 \newline x^2\cdot(x^2+2x+3) \overset{\underset{\mathrm{!}}{}}{=}0$

Nach dem Satz vom Nullprodukt ist ein Produkt genau dann 0, wenn einer seiner Faktoren 0 ist. Hier kann der Zähler Null sein, wenn $x^2=0$ ist, also bei $x=0$. Der andere Faktor $(x^2+2x+3)$ kann jedoch nicht null werden. Versuchst du die Nullstellen mit der Mitternachtsformel auszurechen, merkst du, dass der unter der Wurzel (die Determinante) etwas Negatives rauskommt.

Also hat die Funktion f(x) nur eine Nullstelle bei $x=0$ und kann nur dort die x Achse überschreiten.

Setze $-1$ in die Funktion ein:

Damit ist die Funktion für alle Werte kleiner als die Nullstelle positiv und oberhalb der x Achse. Um zu überprüfen, welches Vorzeichen du erhälst, wenn du rechts von der Nullstelle bist, setze eine Zahl die größer als die Nullstelle ist, in die Funktion ein. $1$ bietet sich hier an.

Also ist die Funktion auch auf der rechten Seite der Nullstelle positiv.

Die Funktion ist somit immer überhalb der $x$-Achse.

Dasselbe Ergebnis erhälst du auch, wenn du nachweist, dass $x^2+2x+3$ (z.B. für $x=0$) positiv ist. Der Term hat ja keine Nullstellen und daher immer dasselbe Vorzeichen. Weil $x^2$ positiv ist, hat $f(x)$ nur für $x=0$ den Wert Null und ist sonst immer positiv, d.h. der Graph verläuft oberhalb der $x$-Achse.