Berechne die Tangente an die Funktion g(x)=x2+4x durch den Punkt B(2∣y) .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Parabel berechnen
Ohne Ableitung
g(x)=x2+4x,B(2∣y)
Setze die quadratische Funktion mit der allgemeinen Tangentengleichung gleich
| x2+4x | = | mx+t | |
| ↓ | Bringe alles auf eine Seite. | ||
| x2+(4−m)x−t | = | 0 | |
| ↓ | Berechne die Diskriminante und setze sie gleich Null | ||
| D | = | (4−m)2−4⋅1⋅(−t) | |
| = | m2−8m+16+4t | ||
| = | 0 | ||
Berechne mit Hilfe der Parabelgleichung den y-Wert von B
| y | = | 22+4⋅2 | |
| ↓ | Setze B in die allgemeine Tangentengleichung ein | ||
| = | 12 | ||
| 12 | = | 2m+t | |
Löse nach t auf und setze in die Diskriminantengleichung ein
m2−8m+16+4(12−2m)=m2−16m+64=0
Löse nach m auf (z. B. durch Faktorisieren mit Hilfe einer binomischen Formel )
m2−16m+64=(m−8)2=0⇒m=8
Setze m und b in die allgemeine Tangentengleichung ein und löse nach t auf
12=8⋅2+t⇒t=−4
Stelle die Tangentengleichung auf
tB(x)=8x−4
Mit Ableitung
g‘(x)=2x+4
Setze den x-Wert von B ein und erhalte m
g‘(2)=2⋅2+4=8=m
Berechne mit Hilfe der Parabelgleichung den y-Wert von B
y=22+4⋅2=12
Setze m und B in die Geradengleichung ein und erhalte t
12=8⋅2+t⇒t=−4
Stelle die Tangentengleichung auf
tB(x)=8x−4
