Aufgaben zu Tangenten an Parabeln

Berechne die Tangente an die Funktion $g (x) = x^{2} + 4 x$ durch den Punkt $B(2\vert y)$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Parabel berechnen

$g(x)=x^2+4x,\;B(2\vert y)$

Setze die quadratische Funktion mit der allgemeinen Tangentengleichung gleich

$\displaystyle x^2+4x$	$=$	$\displaystyle mx+t$
	↓	Bringe alles auf eine Seite.
$\displaystyle x^2+\left(4-m\right)x-t$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Berechne die Diskriminante und setze sie gleich Null
$\displaystyle D$	$=$	$\displaystyle (4-m)^2-4\cdot1\cdot(-t)$
	$=$	$\displaystyle m^2-8m+16+4t$
	$=$	$\displaystyle 0$

Berechne mit Hilfe der Parabelgleichung den y-Wert von B

$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle 2^2+4\cdot2$
	↓	Setze B in die allgemeine Tangentengleichung ein
	$=$	$\displaystyle 12$
$\displaystyle 12$	$=$	$\displaystyle 2m+t$

Löse nach t auf und setze in die Diskriminantengleichung ein

$m^{2} - 8 m + 16 + 4 (12 - 2 m) = m^{2} - 16 m + 64 = 0$

Löse nach m auf (z. B. durch Faktorisieren mit Hilfe einer binomischen Formel )

$m^2-16m+64=(m-8)^2=0\Rightarrow m=8$

Setze m und b in die allgemeine Tangentengleichung ein und löse nach t auf

$12=8\cdot2+t\Rightarrow t=-4$

Stelle die Tangentengleichung auf

$t_{B} (x) = 8 x - 4$

$g(x)=x^2+4x,\;B(2\vert y)$

Berechne die Ableitung der Parabel

$g ‘ (x) = 2 x + 4$

Setze den x-Wert von B ein und erhalte m

$g`(2)=2\cdot2+4=8=m$

Berechne mit Hilfe der Parabelgleichung den y-Wert von B

$y=2^2+4\cdot2=12$

Setze m und B in die Geradengleichung ein und erhalte t

$12=8\cdot2+t\Rightarrow t=-4$

Stelle die Tangentengleichung auf

$t_{B} (x) = 8 x - 4$

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