Aufgaben zu Tangenten an Parabeln

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Berechne die Tangente an die Funktion $f (x) = - \frac{1}{2} x^{2} - 2 x - 3$ durch den Punkt $B (- 3 | y)$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an eine Parabel berechnen

Setze die quadratische Funktion mit der allgemeinen Tangentengleichung gleich

Berechne die Diskriminante und setze sie gleich Null.

$D = (2 + m)^{2} - 4 \cdot (- \frac{1}{2}) \cdot (- 3 - t) = m^{2} + 4 m - 2 - 2 t = 0$

Berechne mit Hilfe der Parabelgleichung den y-Wert von B:

$y$	$=$	$- \frac{1}{2} (- 3)^{2} - 2 \cdot (- 3) - 3$
	$=$	$- \frac{3}{2}$

Setze m und B in die allgemeine Tangentengleichung ein:

$- \frac{3}{2} = - 3 m + t$

Löse nach t auf und setze in die Diskriminantengleichung ein.

$0$	$=$	$m^{2} + 4 m - 2 - 2 (3 m - \frac{3}{2})$
$0$	$=$	$m^{2} - 2 m + 1$
	↓	Löse nach m auf (z. B. durch Faktorisieren mit Hilfe einer binomischen Formel ).
$0$	$=$	$(m - 1)^{2}$

$\Rightarrow m = 1$

Setze m und B in die allgemeine Tangentengleichung ein und löse nach t auf.

$- \frac{3}{2} = - 3 \cdot 1 + t \Rightarrow t = \frac{3}{2}$

Stelle die Tangentengleichung auf.

$t_{B} (x) = x + \frac{3}{2}$

$f (x) = - \frac{1}{2} x^{2} - 2 x - 3, B (- 3 | y)$

Berechne die Ableitung der Parabel.

$f (x)$	$=$	$- \frac{1}{2} x^{2} - 2 x - 3$
	↓	Berechne die Ableitung der Parabel.
$f ‘ (x)$	$=$	$- x - 2$
	↓	Setze den x-Wert von B ein und erhalte m
$f ‘ (- 3)$	$=$	$- (- 3) - 2$
	$=$	$1$

$\Rightarrow m = 1$

Berechne mit Hilfe der Parabelgleichung den y-Wert von B:

$y = - \frac{1}{2} (- 3)^{2} - 2 \cdot (- 3) - 3 = - \frac{3}{2}$

Setze m und B in die Geradengleichung ein und erhalte t

$- \frac{3}{2} = - 3 \cdot 1 + t \Rightarrow t = \frac{3}{2}$

Stelle die Tangentengleichung auf

$t_{B} (x) = x + \frac{3}{2}$

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