Forme die quadratische Gleichung

$2x^2+5x+t=3x^2+3x-t2x^2+5x+t=3x^2+3x-t$

so um, dass auf einer Seite die Null steht, und fasse so weit wie möglich zusammen.

$-x^2+2x+2t=0-x^2+2x+2t=0$

Lese $aa$, $bb$ und $cc$ ab.

$a=-1,b=2,c=2ta=-1,\backslash ;b=2,\backslash ;c=2t$

Berechne die Diskriminante $D=b^2-4acD=b^2-4ac$ der Gleichung.

$\begin{array}{c}D=2^2-4\cdot (-1)\cdot 2t\\ =4+8t\end{array}\backslash def\backslash arraystretch\{1.25\}\; \backslash begin\{array\}\{l\}D=2^2-4\backslash cdot(-1)\backslash cdot2t\backslash \backslash =4+8t\backslash end\{array\}$

Überprüfe die Diskriminante in Abhängigkeit von $tt$ auf ihr Vorzeichen, indem du sie gleich Null setzt.

$D=4(1+2t)=0\iff t=-\frac{1}{2}D=4(1+2t)=0\backslash Leftrightarrow\; t=-\backslash frac12$

Da $1+2t1+2t$ eine Gerade mit positiver Steigung ist, kannst du das Vorzeichenverhalten der Diskriminante bestimmen und erhältst somit eine Aussage über die Anzahl der Lösungen.

$t>-\frac{1}{2}\Rightarrow D>0\Rightarrow t>-\backslash frac12\backslash Rightarrow\; D>0\backslash Rightarrow$ zwei Lösungen

$t=-\frac{1}{2}\Rightarrow D=0\Rightarrow t=-\backslash frac12\backslash Rightarrow\; D=0\backslash Rightarrow$ eine Lösung

keine Lösung

Wende nun die Mitternachtsformel an, aber beachte dabei die verschiedenen Fälle für die Werte von $tt$.

$t>-\frac{1}{2}:x_{\mathrm{1,2}}=\frac{-2\pm \sqrt{4(1+2t)}}{-2}=1\pm \sqrt{1+2t}t>-\backslash frac12:\backslash ;x\_\{1\{,\}2\}=\backslash frac\{-2\backslash pm\backslash sqrt\{4(1+2t)\}\}\{-2\}=1\backslash pm\backslash sqrt\{1+2t\}$

$t=-\frac{1}{2}:x_1=1t=-\backslash frac12:\backslash ;x\_1=1$

keine Lösung