Auf der einen Seite der Gleichung steht bereits eine Null. Lies also die Parameter $a,ba,b$ und $cc$ aus der allgemeinen Form von quadratischen Gleichungen ab.

$x^2+2dx+9=0x^2+2dx+9=0$

$a=1,b=2d,c=9a=1,\backslash ;b=2d,\backslash ;c=9$

Berechne die Diskriminante $D=b^2-4acD=b^2-4ac$ der Gleichung.

$\begin{array}{c}D=(2d{)}^2-4\cdot 1\cdot 9\\ =4d^2-36=4(d^2-9)\end{array}\backslash def\backslash arraystretch\{1.25\}\; \backslash begin\{array\}\{l\}D=(2d)^2-4\backslash cdot1\backslash cdot9\backslash \backslash =4d^2-36=4(d^2-9)\backslash end\{array\}$

Überprüfe die Diskriminante in Abhängigkeit von $dd$ auf ihr Vorzeichen, indem du sie gleich Null setzt. Dabei ist die dritte binomische Formel hilfreich.

$D=4(d^2-9)=4(d+3)(d-3)=0D=4(d^2-9)=4(d+3)(d-3)=0$

$\iff d=3\backslash Leftrightarrow\; d=3$ oder $d=-3d=-3$

Da die Diskriminante in Abhängigkeit von $dd$ eine nach oben geöffnete Parabel darstellt, bestimmst du das Vorzeichenverhalten der Diskriminante anhand ihrer Nullstellen und leitest darüber die Anzahl der Lösungen in Abhängigkeit vom Parameter $dd$ her.

Ist oder $d>3d>3$, dann ist $DD$ größer also $00\backslash$und es gibt zwei Lösungen. Ist $d=-3d=-3$ oder $d=3d=3$, dann ist die Diskriminante $DD$ gleich $00$, sodass genau eine Lösung existiert. Ist stattdessen $d\in (-\mathrm{3,3})d\backslash \; \backslash in\backslash left(-3\{,\}3\backslash right)$, so gibt es keine Lösung.

Wende nun die Mitternachtsformel auf die verschiedenen Fälle an, um die Lösungen jeweils zu bestimmen.

Für oder $d>3d>3\backslash$ist

$\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{1,2}}=\frac{-2d\pm \sqrt{4\cdot (d+3)\cdot (d-3)}}{2}\\ =-d\pm \sqrt{(d+3)\cdot (d-3)}\end{array}\backslash def\backslash arraystretch\{1.25\}\; \backslash begin\{array\}\{l\}x\_\{1\{,\}2\}=\backslash frac\{-2d\backslash pm\backslash sqrt\{4\backslash cdot(d+3)\backslash cdot(d-3)\}\}2\backslash \backslash \backslash ;\backslash ;\backslash ;\backslash ;\backslash ;\backslash ;=-d\backslash pm\backslash sqrt\{\backslash textstyle(d+3)\backslash cdot(d-3)\}\backslash end\{array\}$

Für $d=-3d=-3$ oder $d=3:d=3:$

$\begin{array}{c}x=\frac{-2d\pm \sqrt{0}}{2}=-d\end{array}\backslash def\backslash arraystretch\{1.25\}\; \backslash begin\{array\}\{l\}x=\backslash frac\{-2d\backslash pm\backslash sqrt0\}2=-d\backslash end\{array\}$

Für $d\in (-\mathrm{3,3})d\backslash \; \backslash in\backslash left(-3\{,\}3\backslash right)$ existieren keine Lösungen.