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Kurs

Rechnen mit Bruchtermen

1 Kursübersicht

In diesem Kurs lernst du, wie du Bruchterme vereinfachen kannst.

Der Kurs dauert ca. 90 min.

2 Motivation

Max und Anna sollen für den Matheunterricht Termwerte des Terms berechnen.

T(x)=6x22x38x216515x60\displaystyle T\left(x\right)=\frac{6x^2-2x^3}{8x^2}-\frac{165-15x}{60}

Anna gibt den Term aufwändig in ihren Taschenrechner ein und möchte sich eine Wertetabelle erstellen. Noch bevor sie die ersten Termwerte sieht, sagt Max: "2-2"

"Was meinst du?", fragt Anna, "Welchen Termwert hast du berechnet?"

Max erklärt: "Der Termwert ist für alle x-Werte, die man einsetzen kann, derselbe, nämlich 2-2."

Bild

Wie ist Max darauf gekommen?

Er hat den Term vereinfacht. Wie das geht und was es für Vorteile bringt, lernst du auf den folgenden Seiten.

3 Was ist ein Bruchterm?

  • Du weißt, was ein Bruch ist; z.B. 14\frac{1}{4}.

  • Du weißt auch, was ein Term ist; z.B. 3 (2+4)3\ \cdot\left(2+4\right) In Termen können auch Variablen vorkommen; z.B. 3x(2+4y)3x\cdot\left(2+4y\right)

Ein Bruchterm stellt eine Kombination aus diesen beiden dar. Die Bedingung ist, dass im Nenner eine Variable (z.B. xx) stehen muss.

Beispiele:

Bruchterme:

12x+3;       4xy+38x2;        4+23xy\displaystyle \frac{1}{2x+3};\ \ \ \ \ \ \ \frac{4xy+3}{8x-2};\ \ \ \ \ \ \ \ 4+\frac{2}{3x-y}

Keine Bruchterme:

4x+82;       12y+4;          5x6+83\displaystyle \frac{4x+8}{2};\ \ \ \ \ \ \ \frac{1}{2}y+4;\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{5x}{6+83}

Im weiteren Kurs geht es darum, mit Bruchtermen zu rechnen und diese zu vereinfachen.

4 Definitionsmenge

Die Definitionsmenge eines Bruchterms ist die Menge aller Zahlen, die man für xx einsetzen darf. Bei einem Bruch darf der Nenner nicht null sein.

Aus diesem Grund ist die Definitionsmenge die Menge der rationalen Zahlen Q\mathbb{Q} ohne die xx-Werte, für die der Nenner null ist.

Merke
  • Stelle immer gleich zu Beginn die Definitionsmenge auf. Selbst wenn du den Bruchterm vereinfachst, bleibt die Definitionsmenge wie am Anfang!

  • Um die Zahlen zu finden, die nicht in der Definitionsmenge liegen, musst du den Nenner gleich null setzen. Bei mehreren Brüchen muss dies für jeden Bruch einzeln gemacht werden.

Beispiel:

T(x)=2x35x+13x\displaystyle T(x) = \frac{2x-3}{5x}+\frac{1}{3-x}

Die Definitionsmenge ist die Menge der rationalen Zahlen ohne die Zahlen, für die der Nenner einer der beiden Brüche gleich null ist.

5x=0x1=03x=0x2=3\displaystyle 5x = 0 \hspace{1.5cm} \Rightarrow x_1=0 \\ 3-x = 0 \hspace{1.1cm} \Rightarrow x_2=3

Die Definitionsmenge ist also:

DT=Q\{0,3}\displaystyle D_T = \mathbb{Q} \backslash \{0{,}3\}

Löse nun die folgenden Aufgaben, um zu sehen, ob du die Definitionsmenge verstanden hast:

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5 Bruchterme kürzen

Schau dir das Video an, in dem erklärt wird, wie man Bruchterme kürzen kann.

Merke
  • Bei Produkten im Zähler und Nenner: Suche dir gleiche Faktoren im Zähler und im Nenner und kürze dann

  • Bei Summen oder Differenzen im Zähler und/ oder im Nenner: 1. Suche gleiche Faktoren innerhalb der Summanden 2. Klammere diese Faktoren aus 3. Suche gleiche Faktoren in Zähler und Nenner und kürze sie

Löse nun die folgenden drei Aufgaben und teste damit, ob du das Kürzen von Bruchtermen verstanden hast.

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6 Addieren und Subtrahieren von Bruchtermen

Schau dir zunächst das Video an. Hier wird erklärt, wie man Bruchterme (ohne Hauptnennersuche) addiert oder subtrahiert.

Merke
  • Die Bruchterme müssen denselben Nenner haben, um sie addieren oder subtrahieren zu können.

  • Um zwei Bruchterme auf denselben Nenner zu bringen, erweitert man jeden Bruch mit dem Nenner des anderen Bruchs.

  • Achtung! Achte darauf, um Summen und Differenzen im Zähler oder Nenner Klammern zu setzen.

  • Haben alle Brüche denselben Nenner, können sie addiert bzw. subtrahiert werden, indem man den Nenner gleich lässt und die Zähler addiert bzw. subtrahiert.

Überprüfe dein neues Wissen, indem du diese Aufgaben löst!

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7 Hauptnenner

Multiplizierst du, wie im Video auf der letzten Seite gezeigt, jeweils mit dem Nenner des anderen Bruchterms, so findest du beim Addieren und Subtrahieren immer einen gemeinsamen Nenner.

Dieser ist allerdings nicht möglichst einfach. Eventuell musst du mit unnötig großen Termen hantieren, was zu Fehlern führen kann. Außerdem musst du dann nach dem Verrechnen eventuell nochmal viel kürzen.

Deshalb sucht man häufig den einfachsten gemeinsamen Nenner, also den, der aus den wenigsten Faktoren besteht. Diesen möglichst einfachen gemeinsamen Nenner nennt man Hauptnenner. Die Suche nach dem Hauptnenner ist im Artikel Hauptnenner mit Variablen bereits sehr schön erklärt.

Bringt man die Bruchterme auf den Hauptnenner, so erweitert man jeweils nur mit den Faktoren, die den Nenner noch vom Hauptnenner unterscheiden.

8 Bruchterme multiplizieren

Schau dir zunächst das folgende Video an. Hier wird erklärt, wie man Bruchterme multipliziert.

Merke
  • Beim Multiplizieren von Bruchtermen wird der Zähler mit dem Zähler und der Nenner mit dem Nenner multipliziert.

  • Setze Klammern um Summen und Differenzen!

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9 Bruchterme dividieren

Schau dir zunächst das folgende Video an. Hier wird erklärt, wie man Bruchterme dividiert.

Merke
  • Bruchterme werden dividiert, indem man mit dem Kehrbruch multipliziert.

  • Achtung! Setze Klammern um Summen und Differenzen!

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10 Zusammenfassung

Bruchterme kürzen

Um Bruchterme so weit wie es geht zu vereinfachen, muss man zunächst den Zähler und Nenner faktorisieren (und eventuell einzelne Faktoren ausklammern) und anschließend kürzen.

Beispiele:
7xyx2x=x(7y)x2=7y2\dfrac{7x - yx}{2x} = \dfrac{x\cdot (7-y)}{x\cdot 2}=\dfrac{7-y}{2}
3x29xxy3y=3x(x3)y(x3)=3xy\dfrac{3x^2-9x}{xy-3y}=\dfrac{3x\cdot (x-3)}{y\cdot (x-3)}=\dfrac{3x}{y}

Bruchterme addieren und subtrahieren

Um Bruchterme zu addieren oder subtrahieren, muss man sie zunächst auf einen Nenner bringen.

Achtung: Setze unbedingt Klammern um Summen oder Differenzen!

Beispiel:
6x+1xx2\dfrac{6}{x+1}-\dfrac{x}{x-2}
=6(x2)(x+1)(x2)x(x+1)(x2)(x+1)=\dfrac{6\cdot\left(x-2\right)}{\left(x+1\right)\cdot\left(x-2\right)}-\dfrac{x\cdot\left(x+1\right)}{\left(x-2\right)\cdot\left(x+1\right)}
=6(x2)x(x+1)(x+1)(x2)=\dfrac{6\cdot\left(x-2\right)-x\cdot\left(x+1\right)}{\left(x+1\right)\cdot\left(x-2\right)}
=6x12x2xx2x2=\dfrac{6x-12-x^2-x}{x^2-x-2}
=5x12x2x2x2=\dfrac{5x-12-x^2}{x^2-x-2}

Bruchterme multiplizieren

Um Bruchterme zu multiplizieren, multipliziert man jeweils den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner. Eventuell kann man bereits kürzen, bevor man die Produkte ausmultipliziert.

Achtung: Setze unbedingt Klammern um Summen oder Differenzen!
Beispiel:
3x2yy14x=3x(y1)2y4x=3(y1)2y4=3y38y\dfrac{3x}{2y}\cdot\dfrac{y-1}{4x}=\dfrac{3x\cdot\left(y-1\right)}{2y\cdot4x}=\dfrac{3\cdot\left(y-1\right)}{2y\cdot4}=\dfrac{3y-3}{8y}

Bruchterme dividieren

Um Bruchterme zu dividieren, multipliziert man den ersten Bruchterm mit dem Kehrbruch des zweiten Bruchterms.

Achtung: Setze unbedingt Klammern um Summen oder Differenzen!

Beispiel:
3xx+1:2xx2=3xx+1x22x=3x(x2)(x+1)2x=3x62x+2\dfrac{3x}{x+1}:\dfrac{2x}{x-2}=\dfrac{3x}{x+1}\cdot\dfrac{x-2}{2x}=\dfrac{3x\cdot\left(x-2\right)}{\left(x+1\right)\cdot2x}=\dfrac{3x-6}{2x+2}

11 Beispielaufgabe

Bei den meisten Aufgaben muss man mehrere Umformungen machen, um den Term so gut wie möglich zu vereinfachen.

Ein solches Beispiel wird dir im folgenden Video vorgerechnet:

Beispiel

Schauen wir uns nun das Beispiel vom Anfang an:

Gegeben war der Term

T(x)=6x22x38x216515x60\displaystyle T\left(x\right)=\frac{6x^2-2x^3}{8x^2}-\frac{165-15x}{60}

Versuche zunächst, den Term selbst so weit wie möglich zu vereinfachen. Die Lösung findest du dann im Spoiler!

Gehe nun auf die nächste Seite und versuche, selbst solche Aufgaben zu lösen.

12 Übungsaufgaben

Versuche hier, dein gelerntes Wissen anzuwenden:

Kürze vollständig

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