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10Zusammenfassung

Negative Exponenten und Potenzgesetze

Definition

an=aa...a,                  n Faktorena^n= \underbrace{a\cdot a\cdot ... \cdot a},\\ \;\;\;\;\;\;\;\; \; \text{n Faktoren} für aQ,nNa \in \mathbb{Q}, n \in \mathbb{N} Beispiel: 53=5555^3 = 5\cdot 5\cdot 5

aa1=a^1 = a für aQa\in \mathbb{Q} Beispiel: 51=55^1 = 5

a0 = 1a^{0\ }=\ 1 für a Qa\ \in\mathbb{Q} Beispiel: 50=15^0 = 1

an=1ana^{-n} = \dfrac{1}{a^n} für aQ\{0},    n1a \in \mathbb{Q}\backslash\{0\}, \;\;n\geq 1 Beispiele: 53=153=11255^{-3} = \dfrac{1}{5^3} = \dfrac{1}{125}

x4=1x4x^{-4} = \dfrac{1}{x^4}

Beachte: (3)2=(3)(3)=9,(-3)^2 = (-3)\cdot(-3)=9, aber 32=(33)=9-3^2 = -(3\cdot3) = -9

Große und kleine Zahlen in wissenschaftlicher Schreibweise

7,71 107 = 77 100 000 7{,}71\ \cdot10^7\ =\ 77\ 100\ 000\

10 mit positivem Exponenten    \;\Rightarrow\;das Komma rückt um 7 Stellen nach rechts

1,6104 = 0,00016 1{,}6\cdot10^{-4}\ =\ 0{,}00016\

10 mit negativen Exponenten    \;\Rightarrow\;das Komma rückt um 4 Stellen nach links

Rechengesetze für Potenzen (a,bQ\{0}(a, b \in \mathbb{Q}\backslash \{0\} und m,nZ)m, n \in \mathbb{Z})

aman=am+na^m \cdot a^n = a^{m+n} Beispiele: 3235=32+(5)=325=33 (=133=127)3^2\cdot3^{-5}=3^{2+(-5)}=3^{2-5}=3^{-3}\ \left(=\frac{1}{3^3}=\frac{1}{27}\right)

x1x4=x1+4=x3x^{-1}\cdot x^4 = x^{-1+4} = x^3

am:an=aman=amna^m:a^n=\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n} Beispiele: 5957=597=52 (=25)\frac{5^9}{5^7}=5^{9-7}=5^2\ \left(=25\right)

x9:x7=x9(7)=x9+7=x16x^9 : x^{-7} = x^{9-(-7)} = x^{9+7} = x^{16}


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