Aufgaben zu Extremwertproblemen aus der Geometrie

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Jana und Nish basteln zu ihrer Einschulung Schultüten.

Ihre Eltern haben ihnen bereits rundes dickes Papier bereit gelegt mit einem Radius von $R = 50 cm$ .

Dieses malen sie bunt an und schneiden einen Kreissektor aus dem Papier aus, um einen Kegel zu formen.

Jana schneidet einen Kreissektor mit dem Mittelpunktswinkel $φ = 120 °$ aus. Nish wählt für seine Schultüte $φ = 60 °$ .

Aus dem ausgeschnitten Kreissektor formen Nish und Jana den Kegelmantel ihrer Schultüten.

a) Jana ist der Meinung, dass in ihre Tüte doppelt so viel Inhalt passt wie in Nishs Tüte, da sie einen doppelt so großen Winkel gewählt hat. Berechne, ob Jana mit ihrer Annahme richtig liegt.

b) Lina kommt später zum Basteln dazu und bekommt die Diskussion zwischen Nish und Jana mit. Sie möchte beide übertrumpfen und eine Schultüte basteln, in die am meisten Süßes reinpasst. Sie benutzt ein übriges rundes Papier mit $R = 50 cm$ und schneidet einen Kreissektor mit Mittelpunktswinkel $φ$ aus dem Papier aus. Bestimme den Winkel $φ$ , für den das Kegelvolumen maximal wird.

c) Beurteile an Hand von Durchmesser und Höhe des Kegels, ob sich die gebastelten Kegelmäntel auch als Schultüten eignen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kegelvolumen

Teillösung a)

Das Volumen eines Kegels ist gegeben durch:

$V = \frac{1}{3} π \cdot r^{2} \cdot h (I)$

Dabei ist $r$ der Radius des Kegelgrundkreises und $h$ die Höhe des Kegels.

Die Bogenlänge $b$ des Kreissektors ist der Umfang des Kegelgrundkreises mit dem Radius $r$ .

$\begin{array}{rcl} b & = & \frac{R \cdot π \cdot φ}{180^{\circ}} \\ 2 \cdot π \cdot r & = & \frac{R \cdot π \cdot φ}{180^{\circ}} \\ r & = & \frac{R \cdot π \cdot φ}{180^{\circ} \cdot 2 \cdot π} \\ r & = & \frac{R \cdot φ}{360^{\circ}} (I I) \end{array}$

Volumen von Nishs Schultüte

Nish hat einen Kreissektor mit dem Mittelpunktswinkel $φ = 60^{\circ}$ ausgeschnitten, d.h. der Radius seiner Schultüte beträgt:

r = \frac{R \cdot 60^{\circ}}{360^{\circ}} = \frac{R}{6}

Da $R = 50 cm$ ist, beträgt sein Kegelradius: $r = \frac{50}{6} cm$ .

In der Abbildung des Kegels gilt für das eingezeichnete rechtwinklige Dreieck der Satz des Pythagoras:

r^{2} + h^{2} = R^{2} (I I I)

h = \sqrt{R^{2} - r^{2}} (I V)

Mit $R = 50 cm$ und $r = \frac{50}{6} cm$ erhält man für die Höhe $h$ :

h = \sqrt{50^{2} - (\frac{50}{6})^{2}}

h = \frac{50}{6} \cdot \sqrt{35} cm

Setzt man $r$ und $h$ in Gleichung $(I)$ ein, ergibt sich ein Volumen von:

V = \frac{1}{3} π \cdot (\frac{50}{6})^{2} \cdot \frac{50}{6} \cdot \sqrt{35} \approx 3585,25 c m^{3}

Volumen von Janas Schultüte

Jana hat einen Kreissektor mit dem Mittelpunktswinkel $φ = 120^{\circ}$ ausgeschnitten, d.h. der Radius ihrer Schultüte beträgt:

r = \frac{R \cdot 120^{\circ}}{360^{\circ}} = \frac{R}{3}

Da $R = 50 cm$ ist, beträgt ihr Kegelradius :

r = \frac{50}{3} cm

Für die Höhe $h$ erhält man gemäß Gleichung $(I V)$ :

h = \sqrt{50^{2} - (\frac{50}{3})^{2}}

h = \frac{50}{3} \cdot \sqrt{8} cm

Setzt man $r$ und $h$ in Gleichung $(I)$ ein, ergibt sich ein Volumen von:

$V = \frac{1}{3} π \cdot (\frac{50}{3})^{2} \cdot \frac{50}{3} \cdot \sqrt{8} \approx 13712,60 c m^{3}$

Antwort

Jana liegt falsch. Ihr Kegelvolumen ist rund viermal so groß wie das Kegelvolumen von Nish.

Teillösung b)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremwert

Aufstellen der Zielfunktion und der Nebenbedingung

Die Zielfunktion bei dieser Aufgabe ist das Volumen eines Kegels:

V = \frac{1}{3} π \cdot r^{2} \cdot h (I)

Die Nebenbedingung ergibt sich aus der obigen rechten Abbildung.

Im rechtwinkligen Dreieck gilt der Satz des Pythagoras:

r^{2} + h^{2} = R^{2} (I I I)

Einsetzen in die Zielfunktion

Die einfachste Lösung der Extremwertaufgabe erhält man, wenn Gleichung $(I I I)$ nach $r^{2}$ aufgelöst und in Gleichung $(I)$ eingesetzt wird. Mit $R = 50 cm$ folgt:

r^{2} = 50^{2} - h^{2} \Rightarrow V (h) = \frac{1}{3} π \cdot (50^{2} - h^{2}) \cdot h

V (h) = \frac{1}{3} π \cdot (2500 \cdot h - h^{3}) (V)

Für den Definitionsbereich $𝔻$ gilt: $0 < h < 50$ .

Anmerkung: Für $h = 0$ und $h = 50$ ist das Volumen gleich Null.

Bestimmung des Extremwertes

Leite die Extremalfunktion $(V)$ zweimal ab, um den Extremwert und die Art des Extremwertes bestimmen zu können.

V^{'} (h) = \frac{1}{3} π \cdot (2500 - 3 h^{2})

V^{''} (h) = \frac{1}{3} π \cdot (- 6 h) = - 2 π h < 0

Setze die erste Ableitung gleich Null:

0 = \frac{1}{3} π \cdot (2500 - 3 h^{2}) \Rightarrow 2500 = 3 h^{2}

Nach $h$ aufgelöst erhält man :

h = \sqrt{\frac{2500}{3}} \approx 28,87 cm (V I)

Da $0 < h < 50$ ist, gilt: $h \in 𝔻$ .

Setze Gleichung $(V I)$ in die zweite Ableitung ein:

V^{''} (\sqrt{\frac{2500}{3}}) = - 2 π \cdot \sqrt{\frac{2500}{3}} < 0

Da die zweite Ableitung kleiner Null ist, ist der Extremwert ein Maximum.

Bestimmung des Kegelgrundkreisradius

Setzt man Gleichung $(V I)$ $h = \sqrt{\frac{2500}{3}}$ in $r^{2} = 50^{2} - h^{2}$ ein,

so erhält man:

r^{2} = 2500 - \frac{2500}{3} = \frac{5000}{3}

Zieht man die Wurzel aus $r^{2}$ , so erhält man für den Radius $r$ des Grundkreises des Kegels :

r = \sqrt{\frac{5000}{3}} \approx 40,82 cm (V I I)

Bestimmung des Mittelpunktswinkels

Löse Gleichung $(I I)$ nach $φ$ auf:

φ = \frac{r \cdot 360^{\circ}}{R}

Mit $R = 50 cm$ und $r = \sqrt{\frac{5000}{3}} cm$ folgt für $φ$ : $φ = \frac{\sqrt{\frac{5000}{3}} \cdot 360^{\circ}}{50} \approx {293,94}^{\circ}$

Das maximale Volumen

Setzt man die Gleichungen $(V I)$ und $(V I I)$ in Gleichung $(I)$ ein, so erhält man das maximale Volumen

für einen Radius von $R = 50 cm$ :

V_{m a x} = \frac{1}{3} \cdot π \cdot \frac{5000}{3} \cdot \sqrt{\frac{2500}{3}} \approx 50383,32 c m^{3}

Antwort

Das maximale Volumen $V_{m a x}$ der Schultüte beträgt in etwa $50383,32 c m^{3}$ bei einem Radius des Grundkreises des Kegels von $r = \sqrt{\frac{5000}{3}} \approx 40,82 cm$ und einer Kegelhöhe von

$h = \sqrt{\frac{2500}{3}} \approx 28,87 cm$ . Der Mittelpunktswinkel muss dafür $φ \approx {293,94}^{\circ}$ betragen.

Lina muss also einen Kreissektor mit dem Mittelpunktswinkel $φ \approx {293,94}^{\circ}$ herausschneiden, um die größte Schultüte zu basteln.

Teillösung c)

Die Schultüten von Jana, Nish und Lina haben folgende Maße:

Name	Höhe	Kreisdurchmesser
Nish	49,3 cm	16,7 cm
Jana	47,1 cm	33,3 cm
Lina	29 cm	82 cm

Bei üblichen Schultüten findet man Verhältnisse von Durchmesser zu Höhe von $1 : 2; 1 : 3$ bis $1 : 4$ .

Betrachtet man die gebastelten Schultüten, so hat die Tüte von Nish ein Verhältnis von Durchmesser zu Höhe von etwa $1 : 3$ , d.h. seine Tüte passt am besten zu den obigen Verhältnissen. Janas Tüte hat ein Verhältnis von $1 : 1,5$ d.h. ihre Tüte ist etwas zu breit im Vergleich zur Höhe.

Linas Tüte hat ein Verhältnis von Durchmesser zu Höhe von etwa $2,8 : 1$ . Ihre Tüte ist sehr breit im Vergleich zur Höhe. Dadurch lässt sich die Schultüte schwer in der Hand halten. Lina könnte dadurch wertvolle Süßigkeiten verlieren. Daher findet man beim Kauf eher längliche Schultüten.

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