Aufgaben zur Volumenberechnung bei Kreisringzylindern

1
Eine Toilettenpapierrolle besteht aus dem Toilettenpapier und einer zylinderförmigen Rolle aus Karton.
Das Toilettenpapier hat eine Breite von $10\textsf{ cm}$ .
Der Durchmesser der zylinderförmigen Rolle sind $4\textsf{ cm}$ .
Der Gesamtdurchmesser der Toilettenpapierrolle beträgt $12\textsf{ cm}$ .
Berechne das Volumen des Toilettenpapiers.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumenberechnung Zylinder
Das Volumen im Inneren (mit dem Durchmesser des Kartons) lässt sich mit der Volumenformel für Zylinder berechen.
$V_{\textsf{innen}}=r^2 \pi h$
Dabei ist $r=\dfrac{4\textsf{ cm}}{2}=2\textsf{ cm}$
und $h=10\textsf{ cm}$ .
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} V_{\textsf{innen}}&=&(2\textsf{ cm})^2 \cdot\pi\cdot 10\textsf{ cm} \\&=&4\textsf{ cm}^2\cdot\pi\cdot10\textsf{ cm} \\&=&40\textsf{ cm}^3\cdot\pi \\&\approx&40\textsf{ cm}^3\cdot 3{,}14 \\&=&125{,}6\textsf{ cm}^3 \end{array}$
Das Volumen der gesamten Toilettenpapierrolle lässt sich ebenfalls mit der Volumenformel für Zylinder berechnen.
$V_{\textsf{gesamt}}=r^2 \pi h$
Dabei ist $r=\dfrac{12\textsf{ cm}}{2}=6\textsf{ cm}$
und $h = 10\textsf{ cm}$ .
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} V_{\textsf{gesamt}}&=&(6\textsf{ cm})^2 \cdot\pi\cdot 10 \textsf{ cm} \\&=&36\textsf{ cm}^2\cdot\pi\cdot10\textsf{ cm} \\&=&360\textsf{ cm}^3\cdot\pi \\&\approx&360\textsf{ cm}^3\cdot 3{,}14 \\&=&1130{,}4\textsf{ cm}^3 \end{array}$
Mit diesen zwei Volumina kann man nun das Volumen des Toilettenpapiers berechnen.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} V_{\textsf{Papier}}&=&V_{\textsf{gesamt}}-V_{\textsf{innen}} \\&=&360\textsf{ cm}^3\cdot\pi-40\textsf{ cm}^3\cdot\pi \\&=&320\textsf{ cm}^3 \cdot \pi \\&\approx&320\textsf{ cm}^3\cdot 3{,}14 \\&=&1004{,}8\textsf{ cm}^3 \end{array}$
Das Volumen des Toilettenpapiers beträgt $1004{,}8\textsf{ cm}^3$ .
Zuerst solltest du beide Zylinder (gesamte Toilettenpapierrolle und Rolle aus Karton) berechnen.
Dann kannst du das Volumen des Kartons von dem der Toilettenpapierrolle abziehen und erhältst das Volumen des Toilettenpapiers.
2
Tobi kauft einen Ring aus purem Gold für seine Freundin. Der Ring ist $0\text{,}5 \text{cm}$ breit. Der Gesamtdurchmesser beträgt $2\text{cm}$ . Der Innendurchmesser beträgt $1\text{,}5 \text{cm}$ .
Tobi möchte nun wissen wie schwer der Ring insgesamt ist. Berechne dafür zuerst das Volumen des Rings. Anschließend kannst du das Gewicht mit der Dichte von Gold berechnen (Dichte von Gold = $19\text{,}32 \frac{g}{\text{cm}^3}$ ). Runde dein Ergebnis vom Volumen und vom Gewicht auf 2 Nachkommastellen.
g

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zylinder
Du berechnest zuerst die Volumen des inneren (Luft) und des Gesamtzylinders (Ring+Luft). Danach kannst du das Volumen des Gesamtzylinders vom Volumen des inneren Zylinders abziehen und erhältst das Volumen des Rings. Das Volumen des Zylinders berechnest du mit folgender Formel:
$V_{Zylinder}=G\cdot h=r^2 \cdot π \cdot h$
Berechnung des inneren Zylinders
Wir haben alle notwendigen Werte in der Aufgabenstellung stehen:
Der Radius ist die Hälfte des Innendurchmessers: $r=\frac{1\text{,}5\text{cm}}{2}=0\text{,}75\text{cm}$
Die Höhe ist die Breite des Rings: $h=0\text{,}5 \text{cm}$ .
Diese Werte setzen wir nun in die Formel ein:
$V_{innen}=r^2 \cdot π \cdot h=(0\text{,}75\text{cm})^2 \cdot π \cdot0\text{,}5 \text{cm}=0\text{,}28125\text{cm}^3 \cdot π$
Berechnung des Gesamtzylinders
Wir haben wieder alle notwendigen Werte in der Aufgabenstellung stehen:
Der Radius ist die Hälfte des Gesamtdurchmessers: $r=\frac{2\text{cm}}{2}=1\text{cm}$
Die Höhe ist die Breite des Rings: $h=0\text{,}5 \text{cm}$ .
Diese Werte setzen wir nun in die Formel ein:
$V_{gesamt}=r^2 \cdot π \cdot h=(1\text{cm})^2 \cdot π \cdot0\text{,}5 \text{cm}=0\text{,}5\text{cm}^3 \cdot π$
Berechnung des Volumens des Rings
$\begin {array}{rcl} V_{Ring}&=&V_{gesamt}-V_{innen}\\\\&=&0\text{,}5\text{cm}^3 \cdot π-0\text{,}28125\text{cm}^3 \cdot π \\\\&=&0\text{,}21875\text{cm}^3 \cdot π\\\\&\approx&0\text{,}69\text{cm}^3\end {array}$
Das Volumen des Ringes beträgt also $0\text{,}69\text{cm}^3$ .
Berechnung des Gewichts des Rings
Um das Gewicht des Ringes zu erhalten, multiplizierst du das Volumen mit der Dichte von Gold:
$m=0\text{,}69\text{cm}^3 \cdot19\text{,}32 \frac{\text{g}}{\text{cm}^3}=13\text{,}33\text{g}$
Der Ring wiegt $13\text{,}33\text{g}$ .
3
Sandra und Markus haben sich zwei neue Gläser geholt. Am Ende des Tages haben beide aus ihren Gläsern 8 Mal getrunken. Markus behauptet nun, dass er trotzdem viel mehr als die Sandra getrunken hat, weil sein Glas höher ist. Sandra hingegen ist der Meinung, dass sie viel mehr getrunken hat, weil ihr Glas breiter ist.
Wer von den beiden hat Recht ?
Begründe deine Antwort rechnerisch.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zylinder
Beide Gläser haben die Form eines Zylinders. Berechne das Volumen der beiden Gläser.
$\hspace{45mm}\text{V}_{Zylinder}\ =\ r^2\cdot\pi\cdot h$
$V_\text{{Glas(Markus)}}\ =\ 2{,}5^2\cdot3{,}14\cdot15\ [cm^3]\qquad\Rightarrow\qquad V_\text{{Glas(Markus)}}\ =\ 294{,}375\ cm^3$
$V_\text{{Glas(Sandra)}}\ \ =\ \ 3{,}5^2\cdot3{,}14\cdot7\ [cm^3]\qquad\ \Rightarrow\qquad V_\text{{Glas(Sandra)}}\ =\ 269{,}255\ cm^3$
$\hspace{40mm}269{,}255\ cm^3\ <\ 297{,}375\ cm^3$
Markus hat recht, er hat mehr als Sandra getrunken.

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