Aufgaben zur Volumenberechnung bei Kreisringzylindern

Das Volumen im Inneren (mit dem Durchmesser des Kartons) lässt sich mit der Volumenformel für Zylinder berechen.

$V_{\text{𝗂𝗇𝗇𝖾𝗇}}=r^2\pi h$

Dabei ist $r={\displaystyle \frac{4\text{ 𝖼𝗆}}{2}}=2\text{ 𝖼𝗆}$

und $h=10\text{ 𝖼𝗆}$.

$\begin{array}{rcl}{V}_{\text{𝗂𝗇𝗇𝖾𝗇}}& =& (2\text{ 𝖼𝗆}{)}^2\cdot \pi \cdot 10\text{ 𝖼𝗆}\\ & =& 4{\text{ 𝖼𝗆}}^2\cdot \pi \cdot 10\text{ 𝖼𝗆}\\ & =& 40{\text{ 𝖼𝗆}}^3\cdot \pi \\ & \approx & 40{\text{ 𝖼𝗆}}^3\cdot \mathrm{3,14}\\ & =& \mathrm{125,6}{\text{ 𝖼𝗆}}^3\end{array}$

Das Volumen der gesamten Toilettenpapierrolle lässt sich ebenfalls mit der Volumenformel für Zylinder berechnen.

$V_{\text{𝗀𝖾𝗌𝖺𝗆𝗍}}=r^2\pi h$

Dabei ist $r={\displaystyle \frac{12\text{ 𝖼𝗆}}{2}}=6\text{ 𝖼𝗆}$

und $h=10\text{ 𝖼𝗆}$.

$\begin{array}{rcl}{V}_{\text{𝗀𝖾𝗌𝖺𝗆𝗍}}& =& (6\text{ 𝖼𝗆}{)}^2\cdot \pi \cdot 10\text{ 𝖼𝗆}\\ & =& 36{\text{ 𝖼𝗆}}^2\cdot \pi \cdot 10\text{ 𝖼𝗆}\\ & =& 360{\text{ 𝖼𝗆}}^3\cdot \pi \\ & \approx & 360{\text{ 𝖼𝗆}}^3\cdot \mathrm{3,14}\\ & =& \mathrm{1130,4}{\text{ 𝖼𝗆}}^3\end{array}$

Mit diesen zwei Volumina kann man nun das Volumen des Toilettenpapiers berechnen.

$\begin{array}{rcl}{V}_{\text{𝖯𝖺𝗉𝗂𝖾𝗋}}& =& V_{\text{𝗀𝖾𝗌𝖺𝗆𝗍}}-V_{\text{𝗂𝗇𝗇𝖾𝗇}}\\ & =& 360{\text{ 𝖼𝗆}}^3\cdot \pi -40{\text{ 𝖼𝗆}}^3\cdot \pi \\ & =& 320{\text{ 𝖼𝗆}}^3\cdot \pi \\ & \approx & 320{\text{ 𝖼𝗆}}^3\cdot \mathrm{3,14}\\ & =& \mathrm{1004,8}{\text{ 𝖼𝗆}}^3\end{array}$

Das Volumen des Toilettenpapiers beträgt $\mathrm{1004,8}{\text{ 𝖼𝗆}}^3$.

Du berechnest zuerst die Volumen des inneren (Luft) und des Gesamtzylinders (Ring+Luft). Danach kannst du das Volumen des Gesamtzylinders vom Volumen des inneren Zylinders abziehen und erhältst das Volumen des Rings. Das Volumen des Zylinders berechnest du mit folgender Formel:

$V_{Zylinder}=G\cdot h=r^2\cdot \pi \cdot h$

Berechnung des inneren Zylinders

Wir haben alle notwendigen Werte in der Aufgabenstellung stehen:

Der Radius ist die Hälfte des Innendurchmessers: $r=\frac{1\text{,}5\text{cm}}{2}=0\text{,}75\text{cm}$

Die Höhe ist die Breite des Rings: $h=0\text{,}5\text{cm}$.

Diese Werte setzen wir nun in die Formel ein:

$V_{innen}=r^2\cdot \pi \cdot h=(0\text{,}75\text{cm}{)}^2\cdot \pi \cdot 0\text{,}5\text{cm}=0\text{,}28125{\text{cm}}^3\cdot \pi$

Berechnung des Gesamtzylinders

Wir haben wieder alle notwendigen Werte in der Aufgabenstellung stehen:

Der Radius ist die Hälfte des Gesamtdurchmessers: $r=\frac{2\text{cm}}{2}=1\text{cm}$

Die Höhe ist die Breite des Rings: $h=0\text{,}5\text{cm}$.

Diese Werte setzen wir nun in die Formel ein:

$V_{gesamt}=r^2\cdot \pi \cdot h=(1\text{cm}{)}^2\cdot \pi \cdot 0\text{,}5\text{cm}=0\text{,}5{\text{cm}}^3\cdot \pi$

Berechnung des Volumens des Rings

$\begin{array}{rcl}{V}_{Ring}& =& V_{gesamt}-V_{innen}\\ & & \\ & =& 0\text{,}5{\text{cm}}^3\cdot \pi -0\text{,}28125{\text{cm}}^3\cdot \pi \\ & & \\ & =& 0\text{,}21875{\text{cm}}^3\cdot \pi \\ & & \\ & \approx & 0\text{,}69{\text{cm}}^3\end{array}$

Das Volumen des Ringes beträgt also $0\text{,}69{\text{cm}}^3$.

Berechnung des Gewichts des Rings

Um das Gewicht des Ringes zu erhalten, multiplizierst du das Volumen mit der Dichte von Gold:

$m=0\text{,}69{\text{cm}}^3\cdot 19\text{,}32\frac{\text{g}}{{\text{cm}}^3}=13\text{,}33\text{g}$

Der Ring wiegt $13\text{,}33\text{g}$.

Beide Gläser haben die Form eines Zylinders. Berechne das Volumen der beiden Gläser.

${\text{V}}_{Zylinder}=r^2\cdot \pi \cdot h$

$V_{\text{Glas(Markus)}}={\mathrm{2,5}}^2\cdot \mathrm{3,14}\cdot 15[c{m}^3]\Rightarrow V_{\text{Glas(Markus)}}=\mathrm{294,375}c{m}^3$

$V_{\text{Glas(Sandra)}}={\mathrm{3,5}}^2\cdot \mathrm{3,14}\cdot 7[c{m}^3]\Rightarrow V_{\text{Glas(Sandra)}}=\mathrm{269,255}c{m}^3$

$\mathrm{269,255}c{m}^3<\mathrm{297,375}c{m}^3$

Markus hat recht, er hat mehr als Sandra getrunken.