Aufgaben zur Volumenberechnung bei Kreisringzylindern

Das Volumen im Inneren (mit dem Durchmesser des Kartons) lässt sich mit der Volumenformel für Zylinder berechen.

$V_{\textsf{innen}}=r^2 \pi h$

Dabei ist $r=\dfrac{4\textsf{ cm}}{2}=2\textsf{ cm}$

und $h=10\textsf{ cm}$.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} V_{\textsf{innen}}&=&(2\textsf{ cm})^2 \cdot\pi\cdot 10\textsf{ cm} \\&=&4\textsf{ cm}^2\cdot\pi\cdot10\textsf{ cm} \\&=&40\textsf{ cm}^3\cdot\pi \\&\approx&40\textsf{ cm}^3\cdot 3{,}14 \\&=&125{,}6\textsf{ cm}^3 \end{array}$

Das Volumen der gesamten Toilettenpapierrolle lässt sich ebenfalls mit der Volumenformel für Zylinder berechnen.

$V_{\textsf{gesamt}}=r^2 \pi h$

Dabei ist $r=\dfrac{12\textsf{ cm}}{2}=6\textsf{ cm}$

und $h = 10\textsf{ cm}$.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} V_{\textsf{gesamt}}&=&(6\textsf{ cm})^2 \cdot\pi\cdot 10 \textsf{ cm} \\&=&36\textsf{ cm}^2\cdot\pi\cdot10\textsf{ cm} \\&=&360\textsf{ cm}^3\cdot\pi \\&\approx&360\textsf{ cm}^3\cdot 3{,}14 \\&=&1130{,}4\textsf{ cm}^3 \end{array}$

Mit diesen zwei Volumina kann man nun das Volumen des Toilettenpapiers berechnen.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} V_{\textsf{Papier}}&=&V_{\textsf{gesamt}}-V_{\textsf{innen}} \\&=&360\textsf{ cm}^3\cdot\pi-40\textsf{ cm}^3\cdot\pi \\&=&320\textsf{ cm}^3 \cdot \pi \\&\approx&320\textsf{ cm}^3\cdot 3{,}14 \\&=&1004{,}8\textsf{ cm}^3 \end{array}$

Das Volumen des Toilettenpapiers beträgt $1004{,}8\textsf{ cm}^3$.

Du berechnest zuerst die Volumen des inneren (Luft) und des Gesamtzylinders (Ring+Luft). Danach kannst du das Volumen des Gesamtzylinders vom Volumen des inneren Zylinders abziehen und erhältst das Volumen des Rings. Das Volumen des Zylinders berechnest du mit folgender Formel:

$V_{Zylinder}=G\cdot h=r^2 \cdot π \cdot h$

Berechnung des inneren Zylinders

Wir haben alle notwendigen Werte in der Aufgabenstellung stehen:

Der Radius ist die Hälfte des Innendurchmessers: $r=\frac{1\text{,}5\text{cm}}{2}=0\text{,}75\text{cm}$

Die Höhe ist die Breite des Rings: $h=0\text{,}5 \text{cm}$.

Diese Werte setzen wir nun in die Formel ein:

$V_{innen}=r^2 \cdot π \cdot h=(0\text{,}75\text{cm})^2 \cdot π \cdot0\text{,}5 \text{cm}=0\text{,}28125\text{cm}^3 \cdot π$

Berechnung des Gesamtzylinders

Wir haben wieder alle notwendigen Werte in der Aufgabenstellung stehen:

Der Radius ist die Hälfte des Gesamtdurchmessers: $r=\frac{2\text{cm}}{2}=1\text{cm}$

Die Höhe ist die Breite des Rings: $h=0\text{,}5 \text{cm}$.

Diese Werte setzen wir nun in die Formel ein:

$V_{gesamt}=r^2 \cdot π \cdot h=(1\text{cm})^2 \cdot π \cdot0\text{,}5 \text{cm}=0\text{,}5\text{cm}^3 \cdot π$

Berechnung des Volumens des Rings

$\begin {array}{rcl} V_{Ring}&=&V_{gesamt}-V_{innen}\\\\&=&0\text{,}5\text{cm}^3 \cdot π-0\text{,}28125\text{cm}^3 \cdot π \\\\&=&0\text{,}21875\text{cm}^3 \cdot π\\\\&\approx&0\text{,}69\text{cm}^3\end {array}$

Das Volumen des Ringes beträgt also $0\text{,}69\text{cm}^3$.

Berechnung des Gewichts des Rings

Um das Gewicht des Ringes zu erhalten, multiplizierst du das Volumen mit der Dichte von Gold:

$m=0\text{,}69\text{cm}^3 \cdot19\text{,}32 \frac{\text{g}}{\text{cm}^3}=13\text{,}33\text{g}$

Der Ring wiegt $13\text{,}33\text{g}$.

Beide Gläser haben die Form eines Zylinders. Berechne das Volumen der beiden Gläser.

$\hspace{45mm}\text{V}_{Zylinder}\ =\ r^2\cdot\pi\cdot h$

$V_\text{{Glas(Markus)}}\ =\ 2{,}5^2\cdot3{,}14\cdot15\ [cm^3]\qquad\Rightarrow\qquad V_\text{{Glas(Markus)}}\ =\ 294{,}375\ cm^3$

$V_\text{{Glas(Sandra)}}\ \ =\ \ 3{,}5^2\cdot3{,}14\cdot7\ [cm^3]\qquad\ \Rightarrow\qquad V_\text{{Glas(Sandra)}}\ =\ 269{,}255\ cm^3$

$\hspace{40mm}269{,}255\ cm^3\ <\ 297{,}375\ cm^3$

Markus hat recht, er hat mehr als Sandra getrunken.