Aufgaben zur Konstruktion von bzw. zu Berechnungen an besonderen Vierecken

Wie gut kennst du dich mit Vierecken aus? Lerne, besondere Vierecke zu konstruieren und in ihnen zu rechnen!

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Winkelberechnungen am Trapez
1. Im Trapez $A B C D$ gelte $A B ‖ C D$ , $α = 32 °$ , $γ = 75 °$ . Berechne $β$ und $δ$ !
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trapez
  Gegeben: $A B ‖ C D$
  $α = 32 °$
  $γ = 75 °$
  Gesucht: $β, δ$
  Die Innenwinkel an den beiden Grundseiten ergeben zusammen 180°.
  $\begin{array}{rcl} 32 ° + δ & = 180 ° | - 32 ° \\ δ & = 148 ° \end{array}$
  $\begin{array}{rcl} 75 ° + β & = 180 ° | - 75 ° \\ β & = 105 ° \end{array}$
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2. Im Trapez $A B C D$ gelte $A B ‖ C D$ , $A D ⟂ B C$ , $α = 20 °$ . Berechne $β, γ, δ$ !
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trapez
  Gegeben: $A B ‖ C D$ (Die Figur ist ein Trapez)
  $A D ⟂ B C$ (im Punkt E steckt ein
  rechter Winkel)
  $α = 20 °$
  Gesucht: $β, γ, δ$
  Erweitert man die Figur $A, B, C, D$ indem man die Strecken $A D$ und $B C$ weiterzeichnet, erhält man den Punkt $E$ , wie im Bild. Die Information $A D ⟂ B C$ sagt aus, dass sich die Linien dort in einem rechten Winkel schneiden.
  Winkel $β$
  Die Figur $A, B, E$ ist ein rechtwinkliges Dreieck. Dort ist die Winkelsumme, wie in allen Dreiecken $180 °$ .
  $α + β + 90 °$ $=$ $180 °$
  ↓
  $α = 20 °$
  $20 ° + β + 90 °$ $=$ $180 °$ $- 110 °$
  $β$ $=$ $70 °$
  Winkel $δ$
  Oberhalb von $δ$ ist ein Stufenwinkel von $α$ . Dieser Winkel könnte zum Beispiel $ϵ$ genannt werden. Es gilt:
  $α = ϵ$
  Da $δ$ und $ϵ$ zudem Nebenwinkel sind, gilt:
  $δ + ϵ$ $=$ $180 °$
  ↓
  $ϵ = α = 20 °$
  $δ + 20 °$ $=$ $180 °$ $- 20 °$
  $δ$ $=$ $160 °$
  Winkel $γ$
  In einem Viereck ist die Winkelsumme immer $360 °$ . Damit ist im Trapez:
  $α + β + γ + δ$ $=$ $360 °$
  $20 ° + 70 ° + γ + 160 °$ $=$ $360 °$ $- 250 °$
  $γ$ $=$ $110 °$
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  Die Winkel $δ$ und $β$ lassen sich direkt ermitteln. Überlege, welcher besondere Winkel oberhalb von $δ$ steckt und wie dieser mit $α$ zusammenhängt. Außerdem, wie ist die Winkelsumme in einem Dreieck?
3. Im Trapez $A B C D$ gelte: $A D ‖ B C, α = δ = 100 °$ . Berechne $β$ und $γ$ !
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trapez
  Gegeben: $A D ‖ B C$
  $α = δ = 100 °$
  Gesucht: $β, γ$
  Die Innenwinkel an den parallelen Seiten ergeben zusammen 180°.
  $\begin{array}{rcl} 100 ° + β & = 180 ° | - 100 ° \\ β & = 80 ° \end{array}$
  $\begin{array}{rcl} 100 ° + γ & = 180 ° | - 100 ° \\ γ & = 80 ° \end{array}$
  Anmerkung:
  Das Trapez $A B C D$ ist gleichschenklig mit den Schenkeln $[A B] = [C D]$ .
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2
Konstruiere ein Trapez $A B C D$ aus der gegebenen Länge der Differenz der beiden Grundseitenlängen $a - c = 3 LE$ , den Schenkellängen $b = B C = 2,5 LE$ und $d = A D = 4 LE$ sowie der Diagonalenlänge $f = B D = 5 LE$ .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trapez
Plan:
Teildreieck $E B C$ ist konstruierbar aus den Seitenlängen $a - c, b, d$ .
D liegt
a) auf der Parallelen zu $E B$ durch $C$ ,
b) auf dem Kreis k(B;f).
A liegt
a) auf der Geraden $E B$ ,
b) auf der Parallelen zu $E C$ durch $D$ .
Durchführung der Konstruktion mit den gegeben Werten
anhand des Applets.
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3
Konstruiere ein Trapez $A B C D$ aus den Grundseitenlängen $A B = a = 5 cm$ und $C D = c = 3 cm$ sowie den Diagonalenlängen $A C = 6 cm$ und $B D = 5 cm$ .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trapez
Plan
Die Eckpunkte $A$ und $B$ sind durch $a$ gegeben.
Die Verlängerung der Grundseite $[A B]$ um $c$ über $A$ hinaus ergibt das konstruierbare Dreieck $B A^{'} D$ mit dem Eckpunkt $D$ des Trapezes.
C liegt
a) auf der Parallelen zu $A B$ durch $D$ ,
b) auf der Parallelen zu $A^{'} D$ durch $A$ .
Durchführung der Konstruktion mit den gegebenen Werten
$a = 5 cm; c = 3 cm; e = 6 cm; f = 5 cm$
anhand des Applets.
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4
Konstruiere ein Trapez $A B C D$ aus den Seitenlängen
$a = 10,5 cm; b = 5,4 cm; c = 6 cm; d = 4,8 cm$ .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trapez
Plan
$A$ und $B$ sind durch $a$ gegeben.
Das Dreieck $B^{'} B C$ ist durch
$a - c, b, d$
konstruierbar und ergibt den Eckpunkt $C$ .
D liegt
a) auf dem Kreis $k (C; c)$ ,
b) auf dem Kreis $k (A; d)$ .
Alternative Lösung für $D$ :
a) auf der Parallelen zu $A B$ durch $C$ ,
b) auf der Parallelen zu $B^{'} C$ durch $A$ .
Durchführung der Konstrukktion mit den gegebenen Werten
$a = 10,5 cm; b = 5,4 cm; c = 6 cm; d = 4,8 cm$
anhand des Applets.
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5
Zeichne zuerst die Punkte $A (5 | 8)$ , $C (5 | 1)$ und die Gerade $b : x = 7$ in ein Koordinatensystem.
1. Die Punkte $B_{1} = (7 | 2)$ und $B_{2} = (7 | 5)$ liegen auf der Geraden $b$ . Ergänze die Dreiecke $A B_{1} C$ und $A B_{2} C$ jeweils zu einem Drachenviereck $A B_{1} C D_{1}$ bzw. $A B_{2} C D_{2}$ .
2. Für jeden Punkt $B_{n}$ auf der Geraden $b$ kann man das Dreieck $A B_{n} C$ zu einem Drachenviereck $A B_{n} C D_{n}$ ergänzen. Alle Punkte $D_{n}$ liegen auf einer Geraden. Zeichne diese ein.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drachenviereck
  $[A C]$ ist die Symmetrieachse im Drachenviereck. Das bedeutet, dass die Gerade $d$ gleich weit von $[A C]$ entfernt sein muss, wie die Gerade $b$ , damit ein Drachenviereck zustande kommt. $A$ und $C$ liegen beide bei $x = 5$ und $b$ bei $x = 7$ . Du spiegelst die Gerade $b$ an der Gerade $A C$ und erhältst so die Gerade $d$ .
  $d : x = 3$
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3. Nenne zwei Beispiele für die Punkte $B$ und $D$ , die auf den jeweiligen Geraden $b$ und $d$ liegen, dass das Drachenviereck $A B C D$ entsteht.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drachenviereck
  Die Punkte $B$ und $D$ müssen beide gegenüber voneinander liegen und sie dürfen nicht höher oder auf gleicher höhe wie $A$ und niedriger oder auf gleicher höhe wie $C$ sein.
  Dann kannst du die Punkte egal wo auf der jeweiligen Gerade $b$ oder $d$ platzieren. Hier ein paar Beispiele.
  $D (3 | 7)$ ; $B (7 | 7)$
  $D (3 | 6)$ ; $B (7 | 6)$
  $D (3 | 5)$ ; $B (7 | 5)$
  $D (3 | 4)$ ; $B (7 | 4)$
  $D (3 | 3)$ ; $B (7 | 3)$
  $D (3 | 2)$ ; $B (7 | 2)$
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4. Wann ist das Drachenviereck $A B C D$ eine Raute? Versuche $B$ und $D$ jetzt so zu verschieben, dass sie mit $A$ oder mit $D$ ein Dreieck bilden?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drachenviereck
  Raute
  Das Viereck $A B C D$ ist eine Raute, wenn $[B D]$ auch eine Symmetrieachse von $A B C D$ ist. Das ist der Fall, wenn die Punkte $B$ , $D$ an der Halbierenden der Strecke $[A C]$ liegen. Jetzt sind alle Seiten der Raute gleich lang.
  $D (3 | 4,5), B (7 | 4,5)$
  Dreieck
  Ein Dreieck wird es dann, wenn $A$ oder $C$ auf der Strecke $[B D]$ liegt. Das passiert, wenn $B$ und $D$ auf gleicher Höhe sind wie $A$ oder $C$ .
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5. Was fällt dir im Bezug auf die verschiedenen Drachendreiecke/Raute/Dreiecke am Flächeninhalt auf?
  
  Alle Figuren haben den gleichen Flächeninhalt.
  $A_{D r e i e c k} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$
  $A_{R a u t e} = \frac{1}{2} \cdot e \cdot f$
  $A_{D r a c h e n v i e r e c k} = \frac{1}{2} \cdot e \cdot f$
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