Aufgaben zur Lagebeziehung zweier Ebenen

Bestimme die Schnittmenge der beiden in Koordinatenform gegebenen Ebenen.

\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccccccl} E_1:-x_1 & + & x_2 & + & 2x_3 & = & 3 & \text{und}\\ E_2: 6x_1 & + & 4x_2 & + & 3x_3 &=& 12 \end{array}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineares Gleichungssystem

Schnittmenge zweier Ebenen bestimmen

Gegeben sind die beiden Ebenen:

\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccccccl} E_1:-x_1 & + & x_2 & + & 2x_3 & = & 3 & \text{und}\\ E_2: 6x_1 & + & 4x_2 & + & 3x_3 &=& 12 \end{array}

Die beiden Ebenengleichungen bilden ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten, es ist also ein unterbestimmtes Gleichungsystem.

\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccccccl} \mathrm{(I)}:-x_1 & + & x_2 & + & 2x_3 & = & 3 \\ \mathrm{(II)}: 6x_1 & + & 4x_2 & + & 3x_3 &=& 12 \end{array}

1) Du eliminierst mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus den beiden Ebenengleichungen.

\displaystyle \mathrm{(I)}\cdot(-4)+\mathrm{(II)}\Rightarrow\;\;\ \mathrm{(I')}\;\;\;10x_1-5x_3=0

2) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei Lösungsmöglichkeiten für ein lineares Gleichungssystem eintritt.

Wird Gleichung $\mathrm{(I')}$ nach $x_{1}$ aufgelöst, erhältst Du Gleichung $\mathrm{(II')}\;\;\;x_1=0{,}5x_3$

Setze nun Gleichung $\mathrm{(II')}$ z. B. in Gleichung $\mathrm{(I)}$ ein und löse nach $x_{2}$ auf:

\displaystyle -0{,}5x_3+x_2+2x_3=3\;\;\;\Rightarrow \;\;\;\;x_2=3-1{,}5x_3

Du hast nun $x_{1}$ und $x_{2}$ in Abhängigkeit von $x_{3}$ dargestellt. Für $x_{3}$ kannst Du z. B. den Parameter $t$ setzen.

Somit hat die Lösungsmenge des Gleichungssystems folgende Form:

\displaystyle \mathbb{L}=\{(0{,}5t\vert 3-1{,}5t\vert t)\vert \ t\in \mathbb R \}

Mit Vektoren geschrieben sieht die Lösungsmenge folgendermaßen aus:

\displaystyle g:\;\;\vec{x}=\begin{pmatrix}0{,}5t\\3-1{,}5t\\t\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\3\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0{,}5\\-1{,}5\\1\end{pmatrix}

Antwort: Die gesuchte Schnittgerade der beiden Ebenen $E_{1}$ und $E_{2}$ hat die Gleichung:

\displaystyle g:\;\;\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\3\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0{,}5\\-1{,}5\\1\end{pmatrix}

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Schnittmenge zweier Ebenen bestimmen

1) Du eliminierst mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus den beiden Ebenengleichungen.

2) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei Lösungsmöglichkeiten für ein lineares Gleichungssystem eintritt.

Antwort: Die gesuchte Schnittgerade der beiden Ebenen E1E_1 E1​ und E2E_2 E2​ hat die Gleichung:﻿

Antwort: Die gesuchte Schnittgerade der beiden Ebenen $E_{1}$ und $E_{2}$ hat die Gleichung: