Aufgaben zur relativen Häufigkeit

Würfle 100-mal und bestimme die relative Häufigkeit der Augenzahl 6 für

die ersten 20,
die zweiten 20,
die dritten 20,
die vierten 20 und
die fünften 20 Würfe.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: relative Häufigkeit

Um die relative Häufigkeit deines Ergebnisses zu bestimmen, rechnest du allgemein:

\displaystyle \mathrm{\frac{Anzahl\ der\ Zahl\ 6}{Wurfanzahl}}

Beispielsweise könnte dein Ergebnis so aussehen:

Würfe	Anzahl der 6er	relative Häufigkeit
1 - 20	2	$\frac2{20}=0{,}1=10\,\%$
21 - 40	6	$\frac6{20}=0{,}3=30\,\%$
41 - 60	4	$\frac4{20}=0{,}2=20\,\%$
61 - 80	0	$\frac0{20}=0\,\%$
81 - 100	10	$\frac{10}{20}=0{,}5=50\,\%$

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Bei einer Schulaufgabe ergab sich für die Noten folgende Verteilung:

Note	1	2	3	4	5	6
Anzahl	3	2	9	6	7	2

Berechne die relative Häufigkeit der einzelnen Noten!

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: relative Häufigkeit

Die Gesamtzahl der Schüler kann aus der Anzahl der einzelnen Noten ermittelt werden.

$3+2+9+6+7+2= 29$

Berechne für jede Note die relative Häufigkeit.

Note	relative Häufigkeit
$1$	$\frac3{29}=0{,}1034\approx10\,\%$
$2$	$\frac2{29}=0{,}06897\approx7\,\%$
$3$	$\frac9{29}=0{,}3103\approx31\,\%$
$4$	$\frac6{29}=0{,}2069\approx21\,\%$
$5$	$\frac7{29}=0{,}2414\approx24\,\%$
$6$	$\frac2{29}=0{,}06897\approx7\,\%$

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3
In einer Schulklasse sind 28 Schüler, darunter 12 Mädchen. Bei einer Umfrage gaben 7 Mädchen und 8 Buben an, Sport sei ihr Lieblingsfach.
Ist das Fach Sport laut der Umfrage bei den Mädchen oder bei den Jungen in der Klasse beliebter?
Sport ist bei den Jungs beliebter.
Sport ist bei den Mädchen beliebter.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Relative Häufigkeit
Berechne Relative Häufigkeit
Anzahl Mädchen in der Klasse $=12$
Anzahl Jungen in der Klasse $=28-12=16$
Relative Häufigkeit der Mädchen, die am liebsten Sport mögen $=\frac7{12}\approx58\,\%$
Relative Häufigkeit der Jungen, die am liebsten Sport mögen $=\frac8{16}=\frac12=50\,\%$
$\Rightarrow$ Sport ist bei den Mädchen insgesamt beliebter.
4
Als Hausaufgabe sollten die Schüler der Klasse 6 b mindestens 100-mal würfeln und die relativen Häufigkeiten, mit denen die einzelnen Augenzahlen aufgetreten sind, mithilfe einer Tabelle oder eines Diagramms darstellen.
Am nächsten Tag vergleichen Manfred, Peter, Klaus und Christian ihre Ergebnisse:
1. Nach einem kurzen Blick in Manfreds Heft sagt Christian: „Du hast wohl in der letzten Mathestunde nicht richtig aufgepasst!“ Wie kommt er dazu?
  Manfred hat in der letzten Mathestunde Quatsch gemacht.
  Manfred hat die relativen Häufigkeiten dargestellt.
  Manfred hat die absoluten Häufigkeiten dargestellt.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Relative Häufigkeit
  Manfred hat nicht die relativen Häufigkeiten, sondern die absoluten Häufigkeiten angegeben.
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2. Klaus hat genau 200-mal gewürfelt. Wie oft hat er eine „6“ geworfen?
  Mal
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Relative Häufigkeit
  Klaus hat in $17 \%$ der Fälle eine $6$ gewürfelt. Du hast also die relative Häufigkeit gegeben, diese musst du jetzt mit der Gesamtanzahl an Würfen multiplizieren, um die absolute Häufigkeit zu erhalten:
  Klaus hat also insgesamt $34$ Mal eine $6$ gewürfelt.
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3. Peter betrachtet kurz die Diagramme und verkündet dann laut: „Christian hat von uns vier den besten Würfel. Bei ihm fällt am häufigsten die Sechs.“ Wie kommt Peter zu dieser Aussage? Glaubst auch du, dass Christian den besten Würfel hat?
  Christian hat wirklich den besten Würfel.
  Peter behauptet das, weil bei Christian die relative Häufigkeit mit $\frac15$ am größten ist.
  Christian hat nicht unbedingt einen besseren Würfel.
  Christian hat am meisten die 6 geworfen, weil er sich am meisten angestrengt hat.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Relative Häufigkeit
  Christian hat mit $\dfrac{1}{5}=0{,}2=20\,\%$ den höchsten Anteil von Würfen mit 6 Augen. Bei vielen Würfelspielen wäre er also im Vorteil.
  Ob Christian den besten Würfel hat, kann man aber so nicht sagen:
  Würfeln ist ein Zufallsexperiment, d.h. es ist "normal", dass nicht jeder gleich oft die 6 würfelt
  Die Jungen haben nicht gleich oft gewürfelt, das macht das Vergleichen noch schwieriger
  Es ist nicht in jedem Spiel besser viele 6er zu würfeln.
  Du hast noch weitere Ideen, warum Christian im Vorteil ist oder vielleicht auch nicht? Schreib sie in die Kommentare! :-)
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5
Aus den abgebildeten Netzen lassen sich „Spielwürfel“ mit $4, 6$ und $8$ Seitenflächen erstellen.
1. Welche Wahrscheinlichkeiten erhältst du für die Augenzahlen $0, 1$ und $2$ bei den verschiedenen „Spielwürfeln“, wenn du sehr oft würfelst?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: relative Häufigkeit
  Um die relativen Häufigkeiten bei den jeweiligen Würfeln zu bestimmen, solltest du die Wahrscheinlichkeiten der jeweiligen Zahlen bei den Würfeln betrachten.
  Würfel 1
  Wahrscheinlichkeit der Zahl 0 $=\frac14=25\,\%$
  Wahrscheinlichkeit der Zahl 1 $=\frac14=25\,\%$
  Wahrscheinlichkeit der Zahl 2 $=\frac24=50\,\%$
  Würfel 2
  Wahrscheinlichkeit der Zahl 0 $=\frac26\approx33\,\%$
  Wahrscheinlichkeit der Zahl 1 $=\frac26\approx33\,\%$
  Wahrscheinlichkeit der Zahl 2 $=\frac26\approx33\,\%$
  Würfel 3
  Wahrscheinlichkeit der Zahl 0 $=\frac38=37{,}5\,\%$
  Wahrscheinlichkeit der Zahl 1 $=\frac38=37{,}5\,\%$
  Wahrscheinlichkeit der Zahl 2 $=\frac28=\frac14=25\,\%$
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2. Bei einem Spiel würfelt jeder Teilnehmer so lange, bis er zum ersten Mal eine „ $2$ “ geworfen hat. Wer am wenigsten Würfe benötigt, gewinnt. Welchen Würfel würdest du für dieses Spiel auswählen? Erläutere deine Entscheidung.
  Würfel 1 (4 Seiten)
  Würfel 2 (6 Seiten)
  Würfel 3 (8 Seiten)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: relative Häufigkeit
  Der Würfel, bei dem die Wahrscheinlichkeit am höchsten ist, bei jedem Wurf eine $2$ zu würfeln, ist Würfel $1$ .
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3. Bei einem anderen Spiel wird reihum gewürfelt. Wer eine „ $0$ “ würfelt, scheidet aus. Wie groß ist mit den verschiedenen Würfeln jeweils die Chance, bei einem Wurf keine „ $0$ “ zu werfen?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: relative Häufigkeit
  Ziehe jeweils die Wahrscheinlichkeit, eine $0$ zu würfeln, von $100\ \%$ ab.
  Würfel 1
  $100\,\%-25\,\%=75\,\%$
  Würfel 2
  $100\,\%-33\,\%=67\,\%$
  Würfel 3
  $100\,\%-37{,}5\,\%=62{,}5\,\%$
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4. Bei tausend Würfen mit einem der drei Würfel hat sich folgendes Ergebnis ergeben:
  Augenzahl
  0
  1
  2
  absolute Häufigkeit
  241
  253
  506
  Was meinst du, welcher Würfel verwendet wurde? Erläutere deine Antwort.
  Würfel 1 (4 Seiten)
  Würfel 2 (6 Seiten)
  Würfel 3 (8 Seiten)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: relative Häufigkeit
  Berechne aus den Angaben die relative Häufigkeit.
  Summe aller Würfe $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}=1000\end{array}$
  Anteil 0 $=\frac{241}{1000}=24{,}1\,\%$
  Anteil 1 $=\frac{253}{1000}=25{,}3\,\%$
  Anteil 2 $=\frac{506}{1000}=50{,}6\,\%$
  Der Vergleich mit den Wahrscheinlichkeiten von Teilaufgabe 1 zur relativen Häufigkeit der Zahlen bei den Würfeln zeigt, dass nur Würfel 1 infrage kommen kann.
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Augenzahl	0	1	2
absolute Häufigkeit	241	253	506

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