Aufgaben zu Schrägbildern und Mantelflächen von Prismen und Zylindern

Der Radius der Kreise ergibt sich indem man den Durchmesser halbiert:

$r=\dfrac{4\textsf{ cm}}{2}=2\textsf{ cm}$

Die Mittelpunkte der Kreise haben also einen Abstand von $2\textsf{ cm}$ zum Rechteck.

Das Rechteck hat eine Breite von $5\textsf{ cm}$. Das entspricht dem Abstand zwischen den Kreisen, also der Höhe des Zylinders.

Die Länge von $12{,}5\textsf{ cm}$ von dem Rechteck ergibt sich aus dem Umfang eines Kreises.

1. Zeichne die Seite $\overline{AB}$ mit der Originallänge $\text{c}=6\;\text{cm}$.

2. Zeichne um $A$ einen Kreisbogen mit dem Radius $r_1=\overline{AC}=4{,}1\;\text{cm}$.

3. Zeichne um $B$ einen Kreisbogen mit dem Radius $r_2=\overline{BC}=6{,}4\;\text{cm}$.

4. Die beiden Kreisbögen schneiden sich im Punkt $C$.

5. Verbinde die Punkte $A$ mit $C$ und $B$ mit $C$.

6. Lege das Geodreieck im Punkt $B$ an und markiere den Verzerrungswinkel $\alpha=45^\circ$ (hier Punkt $P$ am Geodreieck).

7. Verbinde den Punkt $B$ mit $P$ .

8. Zeichne um $B$ einen Kreisbogen mit dem Radius $r_3=4\;\text{cm}$. Das Längenmaß $4\;\text{cm}$ entspricht der Höhe $h=8\;\text{cm}$ des Prismas, die auf die Hälfte verkürzt gezeichnet wird.

9. Der Kreisbogen schneidet den freien Schenkel des Winkels $\alpha$ im Punkt $E$.

10. Verschiebe die Strecke $\left[BE\right]$ parallel, so dass sie im Punkt $C$ beginnt und eine Länge von $4\text{cm}$ besitzt.

11. Verschiebe die Strecke $\left[BE\right]$ parallel, so dass sie im Punkt $A$ beginnt und eine Länge von $4\text{cm}$ besitzt. (Die letzte Strecke ist gestrichelt, da diese Kante aus diesem Blickwinkel nicht sichtbar ist).

12. Verbinde die Endpunkte der parallel verschobenen Strecken. Achte dabei auf die nicht sichtbaren Strecken $\left[DE\right]$ und $\left[DF\right]$.

Dein Schrägriss eines liegenden geraden Prismas mit dreieckiger Grundfläche ist fertig.

1. Zeichne ein Rechteck mit den Seitenlängen $\overline{AB}=6\;\text{cm}$ und $\overline{AD}=8\;\text{cm}$ ($\overline{AD}$ entspricht der Höhe $h$ des Prismas).

2. Zeichne an das Rechteck $ABED$ nach links anschließend das Rechteck $C'ADF'$ (dabei ist $\overline{C'A}=4{,}1\;\text{cm}$) und nach rechts anschließend das Rechteck $BC''F''E$ (dabei ist $\overline{BC''}=6{,}4\;\text{cm}$.

3. An der Seite $\left[DE\right]$ liegt das Dreieck $DEF$ an. An der Seite $\left[AB\right]$ liegt das Dreieck $ABC$ an.

4. Zeichne um die Punkte $D$ und $A$ je einen Kreisbogen mit dem Radius $r=\overline{C'A}=4{,}1\;\text{cm}$ (Dreieckseite $b$).

5. Zeichne um die Punkte $B$ und $E$ je einen Kreisbogen mit dem Radius $r=\overline{BC''}=6{,}4\;\text{cm}$ (Dreieckseite $a$).

5. Der Kreisbogen um $A$ und der Kreisbogen um $B$ schneiden sich im Punkt $C$ des Dreiecks $ABC$.

6. Der Kreisbogen um $D$ und der Kreis um $E$ schneiden sich im Punkt $F$ des Dreiecks $DEF$.

7. Verbinde die Punkte $A$ mit $C$ und $B$ mit $C$.

8. Verbinde die Punkte $D$ mit $F$ und $E$ mit $F$.

Dein Netz eines geraden Prismas mit dreieckiger Grundfläche ist fertig.

Für die Konstruktion des Bestimmungsdreiecks benötigst du einige Informationen:

• Ein reguläres Fünfeck kannst du in 5 gleichschenklige Dreiecke zerlegen, so wie es die nebenstehende Skizze zeigt.

• Den Mittelpunktswinkel erhältst du, indem $360^\circ$ durch die Anzahl der Ecken (hier 5) geteilt wird $\;\Rightarrow$ $360^\circ : 5 = 72^\circ$.

• Da die Winkelsumme im Dreieck $180^\circ$ beträgt, haben die beiden Basiswinkel $\varphi$ zusammen eine Größe von $180^\circ - 72^\circ = 108^\circ$, d.h. jeder Basiswinkel ist $\varphi=\frac{108^{\circ}}{2}=54^{\circ}$ groß.

Konstruiere also zunächst ein Dreieck mit der gegebenen Seitenlänge $\text{a}=3\;\text{cm}$ des Fünfecks als Basis und den anliegenden Basiswinkeln $\varphi=54^{\circ}$.

1. Zeichne die Seite $\left[AB\right]$ mit der Originallänge $\text{a}=3\;\text{cm}$.

2. Lege das Geodreieck im Punkt $A$ an und markiere den Winkel $\varphi=54^\circ$ (hier Punkt $P$ am Geodreieck).

3. Lege das Geodreieck im Punkt $B$ an und markiere den Winkel $\varphi=54^{\circ}$ (hier Punkt $Q$ am Geodreieck).

4. Verbinde Punkt $A$ mit Punkt $P$ und Punkt $B$ mit Punkt $Q$.

5. Der Schnittpunkt der beiden Schenkel ist der Mittelpunkt $M$ des Fünfecks.

6. Damit ist die Konstruktion des Bestimmungsdreiecks für das Fünfeck abgeschlossen.

7. Zeichne einen Kreis mit Mittelpunkt $M$ und $r_1=\overline{MA}$.

8. Zeichne im Punkt B einen Kreisbogen mit $\text{r}_2=3\;\text{cm}$ (das ist die Länge der Fünfeckseite). Er schneidet den Kreis mit Mittelpunkt $M$ im Punkt $C$.

9. Zeichne im Punkt C einen Kreisbogen mit $\text{r}_3=3\;\text{cm}$. Er schneidet den Kreis mit Mittelpunkt $M$ im Punkt $D$.

10. Zeichne im Punkt D einen Kreisbogen mit $\text{r}_4=3\;\text{cm}$. Er schneidet den Kreis mit Mittelpunkt $M$ im Punkt $E$.

11. Verbinde die Punkte $B$ mit $C$, $C$ mit $D$, $D$ mit $E$ und $E$ mit $A$.

Dein regelmäßiges Fünfeck ist fertig.

12. Lege das Geodreieck im Punkt $B$ an und markiere den Verzerrungswinkel $\alpha=45^\circ$ (hier Punkt $R$ am Geodreieck).

13. Zeichne eine Halbgerade im Punkt $B$ beginnend durch den Punkt $R$.

14. Zeichne um $B$ einen Kreisbogen mit dem Radius $\text{r}=6\;\text{cm}$. Das Längenmaß   $6\;\text{cm}$ entspricht der Höhe $h=12\;\text{cm}$ des Prismas, die auf die Hälfte verkürzt gezeichnet wird. 

15. Der Kreisbogen schneidet den freien Schenkel des Winkels $\alpha$ im Punkt $G$.

16. Hilfslinien, Hilfspunkte und der eingezeichnete Winkel wurden entfernt.

17. Verschiebe die Strecke $\left[BG\right]$ parallel, so dass sie im Punkt $C$ beginnt und $6\text{cm}$ lang ist.

18. Verschiebe die Strecke $\left[BG\right]$ parallel, so dass sie im Punkt $D$ beginnt und $6\text{cm}$ lang ist.

19. Verschiebe die Strecke $\left[BG\right]$ parallel, so dass sie im Punkt $E$ beginnt und $6\text{cm}$ lang ist.

20. Verschiebe die Strecke $\left[BG\right]$ parallel, so dass sie im Punkt $A$ beginnt und $6\text{cm}$ lang ist. (Die letzte Strecke sollte gestrichelt werden, da diese Kante in dieser Ansicht nicht sichtbar ist).

21. Verbinde die Endpunkte der parallel verschobenen Strecken. Achte dabei auf die nicht sichtbaren Strecken $\left[FG\right]$ und $\left[FJ\right]$.

Dein Schrägbild eines liegenden geraden Prismas mit einem regelmäßiges Fünfeck als Grundfläche ist fertig.

1. Zeichne nebeneinanderliegend fünf Rechtecke mit den Maßen $\text{a}=3\;\text{cm}$ und $\text{h}=12\;\text{cm}$.

2. Wähle eines der fünf Rechtecke aus und konstruiere z.B. an die Seite $\left[BC\right]$ ein regelmäßiges Fünfeck. Verfahre entsprechend der Schritte 2 bis 11 (Konstruktion eines regelmäßigen Fünfecks).

Du hast auf der einen Seite des Rechteck $BCIH$ ein regelmäßiges Fünfeck mit der Seitenlänge $\text{a}=3\;\text{cm}$konstruiert.

3. Führe die Konstruktionsschritte 2 bis 11 an der Seite $\left[HI\right]$ auf der gegenüberliegenden Seite des Rechtecks $BCIH$ durch.

Dein Netz eines geraden Prismas mit einem regelmäßiges Fünfeck als Grundfläche ist fertig.

Hinweis:

Die beiden Fünfecke müssen nicht unbedingt an die Seite $\left[BC\right]$ bzw. $\left[HI\right]$ des Rechtecks konstruiert werden.

Du kannst das eine Fünfeck z.B. an die orangefarbige Seite $\left[AB\right]$ (oder jede beliebige andere orangefarbige Seite) angrenzen lassen.

Das zweite Fünfeck kann z.B. an die grüne Seite $\left[JK\right]$ (oder jede beliebige andere grüne Seite) angrenzen.