Sachaufgaben zu Volumen und Oberfläche

Abschätzung nach oben

Ein Zylinder mit der Höhe $h$ und dem Durchmesser $d1$ hat ein größeres Volumen als das Weißbierglas. Es gilt also:

Abschätzung nach unten

Ein Zylinder mit der Höhe $h$ und dem Durchmesser $d2$ hat ein kleineres Volumen als das Weißbierglas. Es gilt also:

Berechnung der Zylindervolumen

Nun musst du nur noch die Volumen der beiden Zylinder bestimmen. Dafür verwendest du jeweils die Zylinderformel $V = r^2\cdot\pi\cdot h$ und die Beziehung $d = \frac{r}2$:

Volumen Weißbierglas

Für das Volumen des Weißbierglases bis zur Eichmarkierung gilt also:

Der Radius $r$ ist halb so lang wie der Durchmesser, also gilt $r=4\ \text{m}$.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}V=r^2\mathrm{πh}\\\mathrm M=2\mathrm{rπh}\\\mathrm O=2\mathrm r^2\mathrm\pi+2\mathrm{rπh}\end{array}$

$V=r^2\mathrm{πh}=(4\mathrm m)^2\cdot3{,}14\cdot5\mathrm m=16\mathrm m^2\cdot3{,}14\cdot5\mathrm m=251{,}2\mathrm m^3$

$M=2r\mathrm{πh}=2(4\mathrm m)\cdot3{,}14\cdot5\mathrm m=8\mathrm m\cdot3{,}14\cdot5\mathrm m=125{,}6\mathrm m^2$

$O=2r^2\mathrm\pi+2\mathrm{rπh}=2(4\mathrm m)^2\cdot3{,}14+2\cdot4\mathrm m\cdot3{,}14\cdot5\mathrm m$

$\;\;\;\;=100{,}48\mathrm m^2+125{,}60\mathrm m^2=226{,}08\mathrm m^2$

Das Volumen des Zylinders beträgt $251{,}2m^3$, die Mantelfläche $125{,}6m^2$ und die Oberfläche $226{,}08m^2$.

$h=\cfrac{O-2r^2\mathrm\pi}{2r\mathrm\pi}$

$h=\dfrac{150{,}72-2\cdot9\cdot3{,}14}{2\cdot3\cdot3{,}14}=\dfrac{150{,}72-56{,}52}{18{,}84}=\dfrac{94{,}2}{18{,}84}=5$

Die Höhe des Zylinders beträgt $5cm$.