Wir prüfen nun, ob die Vektoraddition erhalten bleibt. Also ob für Vektoren $a,b\in\R^3$ gilt

${{f(a+b)=f(a)+f(b)}}$

Dies können wir direkt nachweisen:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ll} f(a+b)&= f\left( \begin{pmatrix}a_x\\a_y\\a_z \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}b_x\\b_y\\b_z \end{pmatrix}\right)= f\left( \begin{pmatrix}a_x +b_x\\a_y+b_y\\a_z+b_z \end{pmatrix}\right) \\[2em] & = \begin{pmatrix}a_x + b_x\\a_y +b_y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_x\\a_y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}b_x\\b_y \end{pmatrix} \\[1.5em] & = f\left( \begin{pmatrix}a_x\\a_y\\a_z \end{pmatrix}\right) + f\left( \begin{pmatrix}b_x\\b_y\\b_z \end{pmatrix}\right)=f(a)+f(b). \end{array}$

Nun überprüfen wir die Homogenität. Für alle $\lambda \in \R$ und $a\in\R^2$ soll gelten:

Es ist

Damit ist die Projektion $f$ eine lineare Abbildung.