Ein allgemeines Zahlenpaar kannst du schreiben als (x∣y) mit zwei Zahlen x und y, die du noch bestimmen musst.
Da nach jenem Zahlenpaar gesucht ist, dass den kleinsten Summenwert besitzt, musst du die Funktion f(x,y)=x+y unter der Nebenbedingung x⋅y=0,64minimieren.
Löst du die Nebenbedingung nach y auf, so erhältst du den Zusammenhang
y=x0,64,
den du in die Funktion f einsetzen kannst. Das bedeutet:
Setzt du das eben berechnete f′(x) gleich null, so erhältst du als Lösungen
x1,2=±0,64=±0,8.
Da nach einem Zahlenpaar positiver Zahlen gesucht ist, kannst du die negative Lösung vernachlässigen. Um die Art des Extremums zu verifizieren (gesucht ist ja ein Minimum), berechnest du die zweite Ableitung. Sie ist gegeben durch
f′′(x)=x31,28.
Setzt du x=0,8 in f′′(x) ein, erkennst du, dass
f′′(0,8)=2,5>0
gilt, sodass bei x=0,8 tatsächlich ein Minimum von f vorliegt.
Setzt du x=0,8 in die Nebenbedingung x⋅y=0,64 ein, so erhältst du
y=0,80,64=0,8.
Das gesuchte Zahlenpaar (x∣y) ist also (0,8∣0,8).
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