Stochastik, Teil A, Aufgabengruppe 2

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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Ein Glücksrad besteht aus zwei unterschiedlich großen Sektoren. Der größere Sektor ist mit der Zahl $1$ und der kleinere mit der Zahl $3$ beschriftet. Die Wahrscheinlichkeit dafür, beim einmaligen Drehen des Glückrads die Zahl $1$ zu erzielen, wird mit $p$ bezeichnet. Das Glücksrad wird zweimal gedreht.
a) Begründen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Summe der beiden erzielten Zahlen $4$ ist, durch den Term $2p\cdot (1-p)$ angegeben wird.
b) Die Zufallsgröße $X$ beschreibt die Summe der beiden erzielten Zahlen. Bestimmen Sie, für welchen Wert von $p$ die Zufallsgröße X den Erwartungswert $3$ hat.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Mehrstufiges Zufallsexperiment
Teilaufgabe a)
Das Glücksrad wird zweimal gedreht. Damit hat man ein zweistufiges Zufallsexperiment. Bei jeder Stufe gilt:
$P\left(\left\{1\right\}\right)=p$ und $P\left(\left\{3\right\}\right)=1-p=q$ ,
da die Ereignisse der 1. Drehung und der 2. Drehung unabhängig sind.
Damit die Summe der erzielten Zahlen den Wert 4 ergibt, muss entweder beim1. Drehen die Zahl $1$ und beim 2. Drehen die Zahl $3$ oder beim 1. Drehen die Zahl $3$ und beim 2. Drehen die Zahl $1$ erzielt werden.
$P\left(\left\{\left(1{,}3\right)\left(3{,}1\right)\right\}=p\cdot (1-p)+(1-p)\cdot p=2\cdot p\cdot\left(1-p\right)\right)$
Teilaufgabe b)
Beim zweimalige drehen sind die Summen
$S_1=2;\ S_2=4;\ S_3=6$ möglich.
Es gilt $P\left(S_1\right)=p^2\ ;\ P\left(S_2\right)=2\cdot p\cdot\left(1-p\right);\ P\left(S_3\right)=\left(1-p\right)^2$
Somit gilt für den Erwartungswert:
$E\left(X\right)=2\cdot p^2+4\cdot2\cdot p\cdot\left(1-p\right)+6\cdot\left(1-p\right)^2$
$E\left(X\right)=2\cdot p^2+8\cdot p-8\cdot p^2+6-12\cdot p+6\cdot p^2=6-4p$
$E(X)=3\Leftrightarrow6-4\cdot p=3\Leftrightarrow p=\frac{3}{4}$

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

Stochastik, Teil A, Aufgabengruppe 2

Teilaufgabe a)

Teilaufgabe b)