Stochastik, Teil A, Aufgabengruppe 2

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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Ein Glücksrad besteht aus zwei unterschiedlich großen Sektoren. Der größere Sektor ist mit der Zahl $1$ und der kleinere mit der Zahl $3$ beschriftet. Die Wahrscheinlichkeit dafür, beim einmaligen Drehen des Glückrads die Zahl $1$ zu erzielen, wird mit $p$ bezeichnet. Das Glücksrad wird zweimal gedreht.
a) Begründen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Summe der beiden erzielten Zahlen $4$ ist, durch den Term $2 p \cdot (1 - p)$ angegeben wird.
b) Die Zufallsgröße $X$ beschreibt die Summe der beiden erzielten Zahlen. Bestimmen Sie, für welchen Wert von $p$ die Zufallsgröße X den Erwartungswert $3$ hat.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Mehrstufiges Zufallsexperiment
Teilaufgabe a)
Das Glücksrad wird zweimal gedreht. Damit hat man ein zweistufiges Zufallsexperiment. Bei jeder Stufe gilt:
$P ({1}) = p$ und $P ({3}) = 1 - p = q$ ,
da die Ereignisse der 1. Drehung und der 2. Drehung unabhängig sind.
Damit die Summe der erzielten Zahlen den Wert 4 ergibt, muss entweder beim1. Drehen die Zahl $1$ und beim 2. Drehen die Zahl $3$ oder beim 1. Drehen die Zahl $3$ und beim 2. Drehen die Zahl $1$ erzielt werden.
$P ({(1,3) (3,1)} = p \cdot (1 - p) + (1 - p) \cdot p = 2 \cdot p \cdot (1 - p))$
Teilaufgabe b)
Beim zweimalige drehen sind die Summen
$S_{1} = 2; S_{2} = 4; S_{3} = 6$ möglich.
Es gilt $P (S_{1}) = p^{2}; P (S_{2}) = 2 \cdot p \cdot (1 - p); P (S_{3}) = {(1 - p)}^{2}$
Somit gilt für den Erwartungswert:
$E (X) = 2 \cdot p^{2} + 4 \cdot 2 \cdot p \cdot (1 - p) + 6 \cdot {(1 - p)}^{2}$
$E (X) = 2 \cdot p^{2} + 8 \cdot p - 8 \cdot p^{2} + 6 - 12 \cdot p + 6 \cdot p^{2} = 6 - 4 p$
$E (X) = 3 \Leftrightarrow 6 - 4 \cdot p = 3 \Leftrightarrow p = \frac{3}{4}$

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

Stochastik, Teil A, Aufgabengruppe 2

Teilaufgabe a)

Teilaufgabe b)