Stochastik, Teil A, Aufgabengruppe 2

Teilaufgabe a)

Das Glücksrad wird zweimal gedreht. Damit hat man ein zweistufiges Zufallsexperiment. Bei jeder Stufe gilt:

$P\left(\left\{1\right\}\right)=pP\backslash left(\backslash left\backslash \{1\backslash right\backslash \}\backslash right)=p$ und $P\left(\left\{3\right\}\right)=1-p=qP\backslash left(\backslash left\backslash \{3\backslash right\backslash \}\backslash right)=1-p=q$ ,

da die Ereignisse der 1. Drehung und der 2. Drehung unabhängig sind.

Damit die Summe der erzielten Zahlen den Wert 4 ergibt, muss entweder beim1. Drehen die Zahl $11$ und beim 2. Drehen die Zahl $33$ oder beim 1. Drehen die Zahl $33$ und beim 2. Drehen die Zahl $11$ erzielt werden.

$P(\left\{\left(\mathrm{1,3}\right)\left(\mathrm{3,1}\right)\right\}=p\cdot (1-p)+(1-p)\cdot p=2\cdot p\cdot (1-p))P\backslash left(\backslash left\backslash \{\backslash left(1\{,\}3\backslash right)\backslash left(3\{,\}1\backslash right)\backslash right\backslash \}=p\backslash cdot\; (1-p)+(1-p)\backslash cdot\; p=2\backslash cdot\; p\backslash cdot\backslash left(1-p\backslash right)\backslash right)$

Teilaufgabe b)

Beim zweimalige drehen sind die Summen

$S_1=2;S_2=4;S_3=6S\_1=2;\backslash \; S\_2=4;\backslash \; S\_3=6$ möglich.

Es gilt $P\left(S_1\right)=p^2;P\left(S_2\right)=2\cdot p\cdot (1-p);P\left(S_3\right)={(1-p)}^{2}P\backslash left(S\_1\backslash right)=p^2\backslash \; ;\backslash \; P\backslash left(S\_2\backslash right)=2\backslash cdot\; p\backslash cdot\backslash left(1-p\backslash right);\backslash \; P\backslash left(S\_3\backslash right)=\backslash left(1-p\backslash right)^2$

Somit gilt für den Erwartungswert:

$E\left(X\right)=2\cdot p^2+4\cdot 2\cdot p\cdot (1-p)+6\cdot {(1-p)}^{2}E\backslash left(X\backslash right)=2\backslash cdot\; p^2+4\backslash cdot2\backslash cdot\; p\backslash cdot\backslash left(1-p\backslash right)+6\backslash cdot\backslash left(1-p\backslash right)^2$

$E\left(X\right)=2\cdot p^2+8\cdot p-8\cdot p^2+6-12\cdot p+6\cdot p^2=6-4pE\backslash left(X\backslash right)=2\backslash cdot\; p^2+8\backslash cdot\; p-8\backslash cdot\; p^2+6-12\backslash cdot\; p+6\backslash cdot\; p^2=6-4p$

$E(X)=3\iff 6-4\cdot p=3\iff p=\frac{3}{4}E(X)=3\backslash Leftrightarrow6-4\backslash cdot\; p=3\backslash Leftrightarrow\; p=\backslash frac\{3\}\{4\}$