Geometrie, Teil A, Aufgabengruppe 2

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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Gegeben sind die Punkte $P (- 2 ∣ 3 ∣ 0)$ , $R (2 ∣ - 1 ∣ 2)$ und $Q (q ∣ 1 ∣ 5)$ mit der reellen Zahl $q$ , wobei $Q$ von $P$ genauso weit entfernt ist wie $R$ .
a) Bestimmen Sie $q$ .
b) Ermitteln Sie die Koordinaten des Eckpunkts $S$ der Raute $P Q R S$ . Zeigen Sie, dass $P Q R S$ kein Quadrat ist.

Lösung zu Teilaufgabe a)
Der Abstand des Punktes $Q (q ∣ 1 ∣ 5)$ vom Punkt $P (- 2 ∣ 3 ∣ 0)$ ist genauso groß wie Abstand des Punktes $Q$ vom Punkt $R (2 ∣ - 1 ∣ 2)$ :
$\overrightarrow{QP}=\begin{pmatrix}-2\\3\\0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}q\\1\\5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2-q\\3-1\\0-5 \end{pmatrix}$
Also ist $d(Q,P)=\sqrt{(-2-q)^2+(3-1)^2+(-5)^2}=\sqrt{(-2-q)^2+4+25}$
$d(Q,R)=\left|\begin{pmatrix}2-q\\-1-1\\2-5 \end{pmatrix}\right|=\sqrt{(2-q)^2+2^2+3^2}=\sqrt{(2-q)^2+4+9}$
$d(Q,P)=d(Q,R)\Leftrightarrow(-2-q)^2+4+25=(2-q)^2+4+9$
$d(Q,P)=d(Q,R)\Leftrightarrow(-2-q)^2+25=(2-q)^2+9$
$\Leftrightarrow(-2-q)^2+16=(2-q)^2$
$\iff4+4q+q^2+16=4-4q+q^2\iff16=-8q\iff q=-2$
Lösung zu Teilaufgabe b)
Durch die Punkte $P Q R S$ wird eine Raute festgelegt.
Da $d (Q, P) = d (Q, R)$ ergibt sich, dass $[P, R]$ Diagonale der Raute ist.
Damit wird durch $[Q, S]$ die zweite Diagonale der Raute festgelegt.
Bei einer Raute halbieren sich die Diagonalen. Deshalb sucht man den Mittelpunkt $M$ der Diagonalen $\left[P,R\right]$ .
Für den Ortsvektor $\vec{m}$ des Mittelpunktes der Diagonalen $\left[P,R\right]$ gilt: $\vec{m}=\frac{1}{2}(\vec{r}+\vec{p})$ .
Also: $\vec{m}=\dfrac{1}{2}\left[\begin{pmatrix}2\\-1\\2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-2\\3\\0 \end{pmatrix}\right]=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix}0\\2\\2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\1\\1 \end{pmatrix}$ .
Nun verdoppelt man den Weg von $Q$ nach $M$ und gelangt zum gesuchten Punkt $S$ .
Damit ist
$\vec{s}=\begin{pmatrix}-2\\1\\5 \end{pmatrix}+2\left[\begin{pmatrix}0\\1\\1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-2\\1\\5 \end{pmatrix}\right]=\begin{pmatrix}-2\\1\\5 \end{pmatrix}+2\begin{pmatrix}2\\0\\-4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\1\\-3 \end{pmatrix}$
Damit haben wir $S (2 ∣ 1 ∣ - 3)$ .
Die Raute $P Q R S$ ist kein Quadrat, wenn $\overrightarrow{QR}$ und $\overrightarrow{QP}$ nicht orthogonal sind.
Man prüft mithilfe des Skalarproduktes:
$\begin{pmatrix}0\\2\\-5 \end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}4\\-2\\-3 \end{pmatrix}=0-4+15=11\neq0$ .
Damit ist die Raute kein Quadrat.

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Geometrie, Teil A, Aufgabengruppe 2

Lösung zu Teilaufgabe a)

Lösung zu Teilaufgabe b)