Geometrie, Teil A, Aufgabengruppe 2

Lösung zu Teilaufgabe a)

Der Abstand des Punktes $Q(q|1|5)$ vom Punkt $P(-2|3|0)$ ist genauso groß wie Abstand des Punktes $Q$ vom Punkt $R(2|-1|2)$:

$\overrightarrow{QP}=\begin{pmatrix}-2\\3\\0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}q\\1\\5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2-q\\3-1\\0-5 \end{pmatrix}$

Also ist $d(Q,P)=\sqrt{(-2-q)^2+(3-1)^2+(-5)^2}=\sqrt{(-2-q)^2+4+25}$

$d(Q,R)=\left|\begin{pmatrix}2-q\\-1-1\\2-5 \end{pmatrix}\right|=\sqrt{(2-q)^2+2^2+3^2}=\sqrt{(2-q)^2+4+9}$

$d(Q,P)=d(Q,R)\Leftrightarrow(-2-q)^2+4+25=(2-q)^2+4+9$

$d(Q,P)=d(Q,R)\Leftrightarrow(-2-q)^2+25=(2-q)^2+9$

$\Leftrightarrow(-2-q)^2+16=(2-q)^2$

$\iff4+4q+q^2+16=4-4q+q^2\iff16=-8q\iff q=-2$

Lösung zu Teilaufgabe b)

Durch die Punkte $PQRS$ wird eine Raute festgelegt.

Da $d(Q,P)=d(Q,R)$ ergibt sich, dass $[P,R]$ Diagonale der Raute ist.

Damit wird durch $[Q,S]$ die zweite Diagonale der Raute festgelegt.

Bei einer Raute halbieren sich die Diagonalen. Deshalb sucht man den Mittelpunkt $M$ der Diagonalen $\left[P,R\right]$.

Für den Ortsvektor $\vec{m}$ des Mittelpunktes der Diagonalen $\left[P,R\right]$ gilt: $\vec{m}=\frac{1}{2}(\vec{r}+\vec{p})$.

Also: $\vec{m}=\dfrac{1}{2}\left[\begin{pmatrix}2\\-1\\2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-2\\3\\0 \end{pmatrix}\right]=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix}0\\2\\2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\1\\1 \end{pmatrix}$.

Nun verdoppelt man den Weg von $Q$ nach $M$ und gelangt zum gesuchten Punkt $S$.

Damit ist

$\vec{s}=\begin{pmatrix}-2\\1\\5 \end{pmatrix}+2\left[\begin{pmatrix}0\\1\\1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-2\\1\\5 \end{pmatrix}\right]=\begin{pmatrix}-2\\1\\5 \end{pmatrix}+2\begin{pmatrix}2\\0\\-4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\1\\-3 \end{pmatrix}$

Damit haben wir $S(2|1|-3)$.

Die Raute $PQRS$ ist kein Quadrat, wenn $\overrightarrow{QR}$ und $\overrightarrow{QP}$ nicht orthogonal sind.

Man prüft mithilfe des Skalarproduktes:

$\begin{pmatrix}0\\2\\-5 \end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}4\\-2\\-3 \end{pmatrix}=0-4+15=11\neq0$.

Damit ist die Raute kein Quadrat.