Geometrie, Teil A, Aufgabengruppe 2

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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Gegeben sind die Punkte $P (- 2 | 3 | 0)$ , $R (2 | - 1 | 2)$ und $Q (q | 1 | 5)$ mit der reellen Zahl $q$ , wobei $Q$ von $P$ genauso weit entfernt ist wie $R$ .
a) Bestimmen Sie $q$ .
b) Ermitteln Sie die Koordinaten des Eckpunkts $S$ der Raute $P Q R S$ . Zeigen Sie, dass $P Q R S$ kein Quadrat ist.

Lösung zu Teilaufgabe a)
Der Abstand des Punktes $Q (q | 1 | 5)$ vom Punkt $P (- 2 | 3 | 0)$ ist genauso groß wie Abstand des Punktes $Q$ vom Punkt $R (2 | - 1 | 2)$ :
$\vec{Q P} = (\begin{array}{c} - 2 \\ 3 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} q \\ 1 \\ 5 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 2 - q \\ 3 - 1 \\ 0 - 5 \end{array})$
Also ist $d (Q, P) = \sqrt{(- 2 - q)^{2} + (3 - 1)^{2} + (- 5)^{2}} = \sqrt{(- 2 - q)^{2} + 4 + 25}$
$d (Q, R) = | (\begin{array}{c} 2 - q \\ - 1 - 1 \\ 2 - 5 \end{array}) | = \sqrt{(2 - q)^{2} + 2^{2} + 3^{2}} = \sqrt{(2 - q)^{2} + 4 + 9}$
$d (Q, P) = d (Q, R) \Leftrightarrow (- 2 - q)^{2} + 4 + 25 = (2 - q)^{2} + 4 + 9$
$d (Q, P) = d (Q, R) \Leftrightarrow (- 2 - q)^{2} + 25 = (2 - q)^{2} + 9$
$\Leftrightarrow (- 2 - q)^{2} + 16 = (2 - q)^{2}$
$⟺ 4 + 4 q + q^{2} + 16 = 4 - 4 q + q^{2} ⟺ 16 = - 8 q ⟺ q = - 2$
Lösung zu Teilaufgabe b)
Durch die Punkte $P Q R S$ wird eine Raute festgelegt.
Da $d (Q, P) = d (Q, R)$ ergibt sich, dass $[P, R]$ Diagonale der Raute ist.
Damit wird durch $[Q, S]$ die zweite Diagonale der Raute festgelegt.
Bei einer Raute halbieren sich die Diagonalen. Deshalb sucht man den Mittelpunkt $M$ der Diagonalen $[P, R]$ .
Für den Ortsvektor $\vec{m}$ des Mittelpunktes der Diagonalen $[P, R]$ gilt: $\vec{m} = \frac{1}{2} (\vec{r} + \vec{p})$ .
Also: $\vec{m} = \frac{1}{2} [(\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 2 \end{array}) + (\begin{array}{c} - 2 \\ 3 \\ 0 \end{array})] = \frac{1}{2} (\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array})$ .
Nun verdoppelt man den Weg von $Q$ nach $M$ und gelangt zum gesuchten Punkt $S$ .
Damit ist
$\vec{s} = (\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \\ 5 \end{array}) + 2 [(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \\ 5 \end{array})] = (\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \\ 5 \end{array}) + 2 (\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ - 4 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 3 \end{array})$
Damit haben wir $S (2 | 1 | - 3)$ .
Die Raute $P Q R S$ ist kein Quadrat, wenn $\vec{Q R}$ und $\vec{Q P}$ nicht orthogonal sind.
Man prüft mithilfe des Skalarproduktes:
$(\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ - 5 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 4 \\ - 2 \\ - 3 \end{array}) = 0 - 4 + 15 = 11 \neq 0$ .
Damit ist die Raute kein Quadrat.

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Geometrie, Teil A, Aufgabengruppe 2

Lösung zu Teilaufgabe a)

Lösung zu Teilaufgabe b)