Teil A - lernen mit Serlo!

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2.0 Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Gleichung $y = 0,5 \cdot (x + 2)^{- 3} + 1 (𝔾 = ℝ \times ℝ)$ .

Im Koordinatensystem ist für $x > - 2$ der Graph zu $f$ eingezeichnet.

2.1 Zeichnen Sie für $x \in [- 6; - 2,5]$ den Graphen zu $f$ in das Koordinatensystem zu 2.0 ein und geben Sie die Wertemenge von $f$ an.

2.2 Punkte $A_{n} (x | 0,5 \cdot (x + 2)^{- 3} + 1)$ mit der Abszisse $x$ liegen auf dem Graphen zu $f$ mit $x \in ℝ ∖ {- 2}$ . Sie legen mit Punkten $B_{n}, C_{n}$ und $D_{n}$ Quadrate $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ fest.

Die x-Koordinate der Punkte $B_{n}$ ist um 2 größer als die Abszisse $x$ der Punkte $A_{n}$ , die y-Koordinate der Punkte $B_{n}$ ist um 1 größer als die $y$ -Koordinate der Punkte $A_{n} .$ Zeichnen Sie die Quadrate $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ für $x = - 3$ und $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ für

$x = 2$ in das Koordinatensystem zu 2.0.

2.3 Begründen Sie, weshalb alle Quadrate $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ den gleichen Flächeninhalt $A$ haben, und geben Sie diesen an.

2.4 Zeigen Sie, dass für die Koordinaten der Punkte $C_{n}$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_{n}$ gilt: $C_{n} (x + 1 | 0,5 \cdot (x + 2)^{- 3} + 4)$ .

2.5 Der Punkt $C_{3}$ des Quadrats $A_{3} B_{3} C_{3} D_{3}$ liegt auf der $y$ –Achse.

Geben Sie die Koordinaten des Punktes $C_{3}$ an.

Teilaufgabe 2.1

Zeichnung der Funktion $y = 0,5 \cdot (x + 2)^{- 3} + 1$ mit Hilfe einer Wertetabelle:

x	-6	-5,5	-5	-4,5	-4	-3,5	-3	-2,5
y	0,99	0,99	0,98	0,97	0,94	0,85	0,5	-3

Jetzt können wir die Punkte einzeichnen:

Wertemenge der Funktion f:

Wir sehen, dass sich der y-Wert der 1 immer weiter annähert, je kleiner x wird (geht man an der x-Achse nach links), aber nie gleich 1 wird. Die Asymptote der Hyperbel liegt also bei $y = 1$ .

$𝕎 = ℝ \$ {1}

Teilaufgabe 2.2

Berechnung der Koordinaten der Eckpunkte der Quadrate $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ und $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ :

Quadrat $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ :

$A_{n}$ (x| $0,5 \cdot {(x + 2)}^{- 3} + 1$ ) für $x = - 3$ :

$y (- 3) = 0,5 \cdot {(- 3 + 2)}^{- 3} + 1 = 0,5 \cdot {(- 1)}^{- 3} + 1 = 0,5 \cdot (- 1) + 1 = 0,5$

Die x-Koordinaten der Punkte $B_{n}$ sind um zwei größer: $x = - 3 + 2 = - 1$
Die y-Koordinaten der Punkte $B_{n}$ sind um eins größer: $y = 0,5 + 1 = 1,5$

So erhalten wir die Punkte $A_{1} (- 3 | 0,5)$ und $B_{1} (- 1 | 1,5)$ .

Wir können nun die Punkte $A_{1}$ und $B_{1}$ in das Koordinatensystem eintragen und verbinden.
Da es sich um ein Quadrat handelt wissen wir, dass alle Seiten gleich lang sind.
Wir können folglich zwei senkrechte Linien zur Strecke [ $A_{1} B_{1}$ ] durch die Punkte $A_{1}$ und $B_{1}$ zeichnen (siehe Bild).

Anschließend nehmen wir die Strecke $[A_{1} B_{1}]$ in den Zirkel und übertragen die Länge auf die beiden Halbgeraden: ( $k_{1} (A_{1}; {A_{1} B}_{1}$ ) und $k_{2} (B_{1}; {A_{1} B}_{1})$
Die Schnittpunkte der Kreise und der Senkrechten sind die Eckpunkte $C_{1}$ und $D_{1}$ .

Quadrat $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ : Wir gehen wie oben vor.

Teilaufgabe 2.3

Flächeninhalt A der Quadrate $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ : $A_{Q u a d r a t} = a^{2} = {A_{n} B_{n}}^{2}$

Die Länge aller Seiten der Quadrate $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ ist konstant. Damit haben alle Quadrate den gleichen Flächeninhalt.

Berechnung des Flächeninhalts:

Die Seite [ $A_{1} B_{1}$ ] können wir über das Dreieck $A_{1} F B_{1}$ (siehe rechte Abbildung) mit dem Satz des Pythagoras berechnen.

Es ist $F (- 1 | 0,5)$ .

$\Rightarrow A_{1} F = - 1 - (- 3) = 2$

$\Rightarrow F B_{1} = 1,5 - 0,5 = 1$

${A_{1} B_{1}}^{2} = {A_{1} F}^{2} + {F B_{1}}^{2}$

${A_{1} B_{1}}^{2} = (2^{2} + 1^{2}) L E = (4 + 1) L E = 5 L E$

$A_{1} B_{1} = \sqrt{5} L E (\approx 2,24 L E)$

Entsprechend gilt: $A_{n} B_{n} = \sqrt{5} L E (\approx 2,24 L E)$

Nun können wir den Flächeninhalt berechnen.

Für alle Quadrate gilt:

$A_{Q u a d r a t} = a^{2} = {A_{n} B_{n}}^{2} = {(\sqrt{5} L E)}^{2} =$ 5 FE

Teilaufgabe 2.4

Koordinaten der Punkte $C_{2}$ in Abhängigkeit von x:

Weg 1: Mithilfe der Vektoren

$\vec{O A_{n}} = (\begin{array}{c} x \\ 0,5 (x + 2)^{- 3} + 1 \end{array})$

$\vec{A_{n} B_{n}} = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array})$

$\vec{B_{n} C_{n}} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \end{array})$

$\vec{O C_{n}}$	$=$	$\vec{O A_{n}} + \vec{A_{n} B_{n}} + \vec{B_{n} C_{n}}$
	$=$	$(\begin{array}{c} x \\ 0,5 \cdot (x + 2)^{- 3} + 1 \end{array}) + (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array}) + (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \end{array})$
	$=$	$(\begin{array}{c} x + 2 - 1 \\ 0,5 \cdot (x + 2)^{- 3} + 1 + 1 + 2 \end{array})$
	$=$	$(\begin{array}{c} x + 1 \\ 0,5 \cdot (x + 2)^{- 3} + 4 \end{array})$

Wir erhalten folgende Koordinaten:

$C_{n} (x + 1 | 0,5 \cdot (x + 2)^{- 3} + 4)$

Teilaufgabe 2.5

Koordinaten des Punktes $C_{3}$ des Quadrates $A_{3} B_{3} C_{3} D_{3}$ für $x = 0$ :

Wir kennen die Koordinaten von $C_{n} (x + 1 | 0,5 \cdot (x + 2)^{- 3} + 4)$ .

Die x-Koordinate wird $0$ , wenn ich für $x = - 1$ einsetze $(- 1 + 1 = 0)$ :

$f (- 1)$	$=$	$0,5 \cdot (- 1 + 2)^{- 3} + 4$
	$=$	$0,5 \cdot (1)^{- 3} + 4$
	$=$	$0,5 \cdot 1 + 4$
	$=$	$4,5$

$C_{3} (1 | 4,5)$

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?