2.0 Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung y=0,5⋅(x+2)−3+1(G=R×R).
Im Koordinatensystem ist für x>−2 der Graph zu f eingezeichnet.
2.1 Zeichnen Sie für x∈[−6;−2,5] den Graphen zu f in das Koordinatensystem zu 2.0 ein und geben Sie die Wertemenge von f an.
2.2 Punkte An(x∣0,5⋅(x+2)−3+1) mit der Abszisse x liegen auf dem Graphen zu f mit x∈R∖{−2}. Sie legen mit Punkten Bn,Cn und Dn Quadrate AnBnCnDn fest.
Die x-Koordinate der Punkte Bn ist um 2 größer als die Abszisse x der Punkte An, die y-Koordinate der Punkte Bn ist um 1 größer als die y-Koordinate der Punkte An. Zeichnen Sie die Quadrate A1B1C1D1 für x=−3 und A2B2C2D2 für
x=2 in das Koordinatensystem zu 2.0.
2.3 Begründen Sie, weshalb alle Quadrate AnBnCnDn den gleichen Flächeninhalt A haben, und geben Sie diesen an.
2.4 Zeigen Sie, dass für die Koordinaten der Punkte Cn in Abhängigkeit von der Abszisse x der Punkte An gilt: Cn(x+1∣0,5⋅(x+2)−3+4).
2.5 Der Punkt C3 des Quadrats A3B3C3D3 liegt auf der y–Achse.
Geben Sie die Koordinaten des Punktes C3 an.
Teilaufgabe 2.1
Zeichnung der Funktion y=0,5⋅(x+2)−3+1 mit Hilfe einer Wertetabelle:
Wir sehen, dass sich der y-Wert der 1 immer weiter annähert, je kleiner x wird (geht man an der x-Achse nach links), aber nie gleich 1 wird. Die Asymptote der Hyperbel liegt also bei y=1.
W=R\{1}
Teilaufgabe 2.2
Berechnung der Koordinaten der Eckpunkte der Quadrate A1B1C1D1 und A2B2C2D2:
QuadratA1B1C1D1:
An(x|0,5⋅(x+2)−3+1) für x=−3:
y(−3)=0,5⋅(−3+2)−3+1=0,5⋅(−1)−3+1=0,5⋅(−1)+1=0,5
Die x-Koordinaten der Punkte Bn sind um zwei größer: x=−3+2=−1
Die y-Koordinaten der Punkte Bn sind um eins größer: y=0,5+1=1,5
So erhalten wir die Punkte A1(−3∣0,5) und B1(−1∣1,5).
Wir können nun die Punkte A1 und B1 in das Koordinatensystem eintragen und verbinden.
Da es sich um ein Quadrat handelt wissen wir, dass alle Seiten gleich lang sind.
Wir können folglich zwei senkrechte Linien zur Strecke [A1B1] durch die Punkte A1 und B1zeichnen (siehe Bild).
Anschließend nehmen wir die Strecke [A1B1] in den Zirkel und übertragen die Länge auf die beiden Halbgeraden: (k1(A1;A1B1) und k2(B1;A1B1)
Die Schnittpunkte der Kreise und der Senkrechten sind die Eckpunkte C1 und D1.
QuadratA2B2C2D2: Wir gehen wie oben vor.
Teilaufgabe 2.3
Flächeninhalt A der Quadrate AnBnCnDn: AQuadrat=a2=AnBn2
Die Länge aller Seiten der Quadrate AnBnCnDn ist konstant. Damit haben alle Quadrate den gleichen Flächeninhalt.
Berechnung des Flächeninhalts:
Die Seite [A1B1] können wir über das Dreieck A1FB1(siehe rechte Abbildung) mit dem Satz des Pythagoras berechnen.