Teil A - lernen mit Serlo!

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2.0 Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Gleichung $y=0{,}5\cdot(\textrm{x}+2)^{-3}+1 \ \ (\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R})$ .

Im Koordinatensystem ist für $x > - 2$ der Graph zu $f$ eingezeichnet.

2.1 Zeichnen Sie für $x\in\lbrack-6;\;-2{,}5\rbrack$ den Graphen zu $f$ in das Koordinatensystem zu 2.0 ein und geben Sie die Wertemenge von $f$ an.

2.2 Punkte $A_n(\textrm{x}\vert\;0{,}5\cdot(\textrm{x}+2)^{-3}+1)$ mit der Abszisse $x$ liegen auf dem Graphen zu $f$ mit $x\in\mathbb{R}\setminus{\{-2\}}$ . Sie legen mit Punkten $B_{n}, C_{n}$ und $D_{n}$ Quadrate $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ fest.

Die x-Koordinate der Punkte $B_{n}$ ist um 2 größer als die Abszisse $x$ der Punkte $A_{n}$ , die y-Koordinate der Punkte $B_{n}$ ist um 1 größer als die $y$ -Koordinate der Punkte $A_{n} .$ Zeichnen Sie die Quadrate $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ für $\textrm{x}=-3$ und $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ für

$x = 2$ in das Koordinatensystem zu 2.0.

2.3 Begründen Sie, weshalb alle Quadrate $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ den gleichen Flächeninhalt $A$ haben, und geben Sie diesen an.

2.4 Zeigen Sie, dass für die Koordinaten der Punkte $C_{n}$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_{n}$ gilt: $C_n({x}+1\vert\;0{,}5\cdot({x}+2)^{-3}+4)$ .

2.5 Der Punkt $C_{3}$ des Quadrats $A_{3} B_{3} C_{3} D_{3}$ liegt auf der $y$ –Achse.

Geben Sie die Koordinaten des Punktes $C_{3}$ an.

Teilaufgabe 2.1

Zeichnung der Funktion $y=0{,}5\cdot(x+2)^{-3}+1$ mit Hilfe einer Wertetabelle:

x	-6	-5,5	-5	-4,5	-4	-3,5	-3	-2,5
y	0,99	0,99	0,98	0,97	0,94	0,85	0,5	-3

Jetzt können wir die Punkte einzeichnen:

Wertemenge der Funktion f:

Wir sehen, dass sich der y-Wert der 1 immer weiter annähert, je kleiner x wird (geht man an der x-Achse nach links), aber nie gleich 1 wird. Die Asymptote der Hyperbel liegt also bei $y = 1$ .

$\mathbb{W}=\mathbb{R}\backslash$ {1}

Teilaufgabe 2.2

Berechnung der Koordinaten der Eckpunkte der Quadrate $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ und $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ :

Quadrat $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ :

$A_{n}$ (x| $0{,}5\cdot\left(x+2\right)^{-3}+1$ ) für $x = - 3$ :

$y\left(-3\right)=0{,}5\cdot\left(-3+2\right)^{-3}+1=0{,}5\cdot\left(-1\right)^{-3}+1=0{,}5\cdot\left(-1\right)+1=0{,}5$

Die x-Koordinaten der Punkte $B_{n}$ sind um zwei größer: $x = - 3 + 2 = - 1$
Die y-Koordinaten der Punkte $B_{n}$ sind um eins größer: $y = 0,5 + 1 = 1,5$

So erhalten wir die Punkte $A_1(-3|0{,}5)$ und $B_1(-1|1{,}5)$ .

Wir können nun die Punkte $A_{1}$ und $B_{1}$ in das Koordinatensystem eintragen und verbinden.
Da es sich um ein Quadrat handelt wissen wir, dass alle Seiten gleich lang sind.
Wir können folglich zwei senkrechte Linien zur Strecke [ $A_{1} B_{1}$ ] durch die Punkte $A_{1}$ und $B_{1}$ zeichnen (siehe Bild).

Anschließend nehmen wir die Strecke $[A_{1} B_{1}]$ in den Zirkel und übertragen die Länge auf die beiden Halbgeraden: ( $k_1(A_1;\ \overline{A_1B}_1$ ) und $k_2\left(B_1;\ \overline{A_1B}_1\right)$
Die Schnittpunkte der Kreise und der Senkrechten sind die Eckpunkte $C_{1}$ und $D_{1}$ .

Quadrat $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ : Wir gehen wie oben vor.

Teilaufgabe 2.3

Flächeninhalt A der Quadrate $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ : $A_{Quadrat}=a^2=\overline{A_nB_n}^2$

Die Länge aller Seiten der Quadrate $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ ist konstant. Damit haben alle Quadrate den gleichen Flächeninhalt.

Berechnung des Flächeninhalts:

Die Seite [ $A_{1} B_{1}$ ] können wir über das Dreieck $A_{1} F B_{1}$ (siehe rechte Abbildung) mit dem Satz des Pythagoras berechnen.

Es ist $F (- 1 ∣ 0,5)$ .

$\Rightarrow\;\overline{A_1F}=-1-(-3)=2$

$\Rightarrow\;\overline{FB_1}=1{,}5-0{,}5=1$

$\overline{A_1B_1}^2=\overline{A_1F}^2+\overline{FB_1}^2$

$\overline{A_1B_1}^2=\left(2^2+1^2\right)LE=\left(4+1\right)LE=5\ LE$

$\overline{A_1B_1}=\sqrt{5}LE\left(\approx2{,}24\ LE\right)$

Entsprechend gilt: $\overline{A_nB_n}=\sqrt{5}LE\left(\approx2{,}24\ LE\right)$

Nun können wir den Flächeninhalt berechnen.

Für alle Quadrate gilt:

$A_{Quadrat}=a^2=\overline{A_nB_n}^2=\left(\sqrt{5}LE\right)^2=$ 5 FE

Teilaufgabe 2.4

Koordinaten der Punkte $C_{2}$ in Abhängigkeit von x:

Weg 1: Mithilfe der Vektoren

$\overrightarrow {OA_n} =\begin{pmatrix}x\\0{,}5(x+2)^{-3}+1\end{pmatrix}$

$\overrightarrow {A_nB_n} =\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}$

$\overrightarrow {B_nC_n} =\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}$

$\displaystyle \overrightarrow{OC_n}$	$=$	$\displaystyle \overrightarrow {OA_n} +\overrightarrow{A_nB_n}+\overrightarrow {B_nC_n}$
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}x\\0{,}5 \cdot (x+2)^{-3}+1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}$
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}x+2-1\\0{,}5 \cdot (x+2)^{-3}+1+1+2\end{pmatrix}$
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}x+1\\0{,}5 \cdot (x+2)^{-3}+4\end{pmatrix}$

Wir erhalten folgende Koordinaten:

$C_n(x+1|0{,}5\cdot(x+2)^{-3}+4)$

Teilaufgabe 2.5

Koordinaten des Punktes $C_{3}$ des Quadrates $A_{3} B_{3} C_{3} D_{3}$ für $x = 0$ :

Wir kennen die Koordinaten von $C_n(x+1|0{,}5\cdot(x+2)^{-3}+4)$ .

Die x-Koordinate wird $0$ , wenn ich für $x = - 1$ einsetze $(- 1 + 1 = 0)$ :

$\displaystyle f\left(-1\right)$	$=$	$\displaystyle 0{,}5\cdot(-1+2)^{-3}+4$
	$=$	$\displaystyle 0{,}5\cdot(1)^{-3}+4$
	$=$	$\displaystyle 0{,}5\cdot1+4$
	$=$	$\displaystyle 4{,}5$

$C_3(1|4{,}5)$

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