Anwendungsaufgaben mit gebrochen rationalen Funktionen

Um den Zusammenhang zwischen der Grundlinie und der zugehörigen Höhe eines Dreiecks mit Flächeninhalt $6 \text{ cm}^2$ darzustellen, kannst du die Länge (x in cm) der Grundlinie und die Höhe (y in cm) unterschiedlich wählen.

a) Bestimme alle ganzzahligen Paare aus Grundlinie (Grundseite) und zugehörige Höhe, die ein Dreieck mit einem Flächeninhalt von $6 \text{ cm}^2$ ergeben. Trage die Werte in eine Tabelle ein.

b) Stelle mit Hilfe der Tabelle den Zusammenhang zwischen Grundseite und Höhe dar. Warum darf man die Punkte verbinden, wenn auch andere als ganzzahlige Paare zugelassen werden?

c) Bestimme nun die zugehörige Funktion des Graphen. Betrachte dazu die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt eines Dreiecks

a) Du weißt aus der Angabe, dass der Flächeninhalt des Dreiecks $6 \text{ cm}^2$ beträgt. Außerdem kannst du den Flächeninhalt eines Dreiecks mit folgender Formel bestimmen: $A_{\text{Dreieck}}= \frac 12\cdot g \cdot h$ .

Du kannst nun den Wert für den Flächeninhalt einsetzen und so umformen, dass du auf der einen Seite nur noch die Grundlinie und die zugehörige Höhe stehen hast.

$\displaystyle 6 \text{ cm}^2$	$=$	$\displaystyle \frac 12 \cdot g \cdot h$	$\displaystyle \cdot 2$
$\displaystyle 12 \text{ cm}^2$	$=$	$\displaystyle g \cdot h$

Mit Hilfe dieser Umformung musst du also natürliche Zahlen für die Länge der Grundlinie $g$ (x in cm) und Höhe $h$ (y in cm) finden, sodass sie multipliziert 12 ergeben. Dann hast du Zahlenpaare gefunden, die ein Dreieck mit dem Flächeninhalt von $6 \text{ cm}^2$ ergeben. Es gibt 6 solcher Paare.

x in cm	1	2	3	4	6	12
y in cm	12	6	4	3	2	1

b) Mithilfe der Tabelle der Teilaufgabe a) kannst du diese Aufgabe lösen. Dazu betrachtet man die Tabelle als eine Wertetabelle und die Seitenpaare als Punkte mit einem x und einem y- Wert. Nun kannst du die Punkte in einem Koordinatensystem eintragen und erhältst folgende graphische Darstellung:

Dieser Graph entspricht einer Hyperbel. Die Punkte darf man verbinden, weil jeder (positive) reelle Wert für die Grundseite und die Höhe zulässig sind und nicht nur die ganzzahligen Paare.

c) Um den zugehörigen Funktionsterm des Graphens zu finden, ist die Betrachtung der Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks nützlich.

\displaystyle A_{\text{Dreieck}}= \frac 12\cdot g \cdot h

Du kannst nun für den Flächeninhalt $A_{\text{Dreieck}}$ den Wert aus der Angabe einsetzen und $g$ und $h$ durch $x$ und $y$ ersetzen.

\displaystyle 6 \text{ cm}^2= \frac 12\cdot x \cdot y

Jetzt kannst du die Gleichung nach y auflösen und erhältst den zugehörigen Funktionsterm:

$\displaystyle \frac 12 \cdot x \cdot y$	$=$	$\displaystyle 6 \text{ cm}^2$	$\displaystyle \cdot 2$
$\displaystyle x \cdot y$	$=$	$\displaystyle 12 \text{ cm}^2$	$\displaystyle :x$
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle \dfrac {12 \text{ cm}^2}{x}$

Der Zusammenhang zwischen der Grundlinie $g$ (x in cm) und der zugehörigen Höhe $h$ (y in cm) eines Dreiecks mit einem Flächeninhalt von $6 \text{ cm}^2$ wird mit folgender Funktion beschrieben:

\displaystyle f:f(x)= \dfrac {12}{x} \qquad; \text{D}_f=\mathbb{Q}∖ \{0\}

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