Anwendungsaufgaben mit gebrochen rationalen Funktionen

Bilde den Limes x gegen $+\infty$:

Der Streckenverlauf wird durch eine gebrochenrationale Funktion erfasst, so dass deren Steigungsverhalten zu untersuchen ist.

Die Funktion $h$ ist wegen $h(x) = h(-x)$ achsensymmetrisch zu $x = 0$ und hat deswegen an den beiden Wendepunkten den gleichen maximalen Steigungsbetrag. Zu überprüfen ist demnach, ob der Betrag der Steigung von $h$ in den Wendepunkten höchstens 6 % beträgt.

$h(x)=\dfrac{3}{x^2+6}$

Bilde mit Hilfe der Quotientenregel und der Kettenregel $h'(x)$

$\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcc}h'(x) &=& \dfrac{0\cdot(x^2+6)-3\cdot2x}{(x^2+6)^2}\\ &=&-\dfrac{6x}{\left(x^2+6\right)^2} \end{array}$

Bilde jetzt die 2. Ableitung $h''(x)$

$\def\arraystretch{2} \begin{array}{c} h''(x) &=&-\dfrac{6(x^2+6)^2-24x^2(x^2+6)}{(x^2+6)^4} \\ \\ &=&-\dfrac{6(x^2+6)\left[(x^2+6)-4x^2\right]}{(x^2+6)^4} \\ \\&=&-\dfrac{6(x^2+6)(6-3x^2)}{(x^2+6)^4} \\ \\&=&+\dfrac{18(x^2+6)(x^2-2)}{(x^2+6)^4} \\ \\&=&\dfrac{18(x^2-2)}{(x^2+6)^3} \end{array}$

Löse jetzt die Gleichung $h''(x) = 0$ um die Wendepunkte und somit die Stellen des größten Steigungsbetrags der Funktion $h$ zu bestimmen

$\Rightarrow x^2-2=0\Rightarrow x_1=-\sqrt2\;\text{und}\;x_2=+\sqrt2$

$x_1$ und $x_2$ liefern Wendepunkte und somit Punkte größten Steigungsbetrags, da $h''(x)$ bei $x_{1{,}2}=\pm\sqrt2$ das Vorzeichen wechselt und zwischen den beiden Punkten negativ ist.

Für den Betrag der Steigung an den Wendepunkten gilt:

Ergebnis:

Damit kann die Autobahnteilstrecke mit dem gegebenen Höhenprofil nicht gebaut werden.

Für diese Teilaufgabe muss die Steigung einer quadratischen Funktion untersucht werden.

$\def\arraystretch{2} \begin{array}{c}h:y=\dfrac3{x^2+6}\end{array} \\$

$\def\arraystretch{2} \begin{array}{c}p:y=-\dfrac3{484}(x^2-38)\end{array}$

Bestimme die Funktionswerte von $h$ und $p$ an den Stellen $-4$ und $4$, an denen die beiden Funktionen aneinandergefügt sind.

$\def\arraystretch{2} \begin{array}{c}h(\pm4)=p(\pm4)=\dfrac3{22}\end{array}$

Die Funktionswerte stimmen also überein. Die Straße hat keinen "Sprung"

Berechne die ersten beiden Ableitungen von $p$.

$\def\arraystretch{2} \begin{array}{c}p':\;y=-\dfrac{6x}{484}\end{array} \\$

$\def\arraystretch{2} \begin{array}{c}p'':\;y=-\dfrac{6}{484}\end{array}$

Bestimme nun die Werte von $p'$ am Rand der Definitionsmenge von $p$

Da $p''$ eine konstante Funktion und $<0$ ist, liegen die Werte der Steigung von $p$ im Intervall $[-4;4]$ im Bereich $\def\arraystretch{2} \begin{array}{c}[-\dfrac6{121};\dfrac6{121}]\end{array}$. Der Betrag der Steigung ist also immer $\le 5\%$.

Ergebnis:

Diese Autobahnteilstrecke kann im Hinblick auf den Höhenverlauf gebaut werden.

Tipp: Mit einem Programm wie Geogebra kannst du den graphischen Verlauf der Autobahnstrecke "nachbauen" und mit dem Steigungsverhalten experimentieren und deine Rechenergebnisse bestätigen.

Verschiebe im Geogebra-Applet die Punkte A, B, C, D und bestätige mit den jeweils abzulesenden Steigungswerten deine Rechenergebnisse aus den Teilaufgaben a und b.

Die Funktion h ist wegen $h(x)=h(-x)$ achsensymmetrisch zu x = 0 und hat deswegen an den beiden Wendepunkten den gleichen maximalen Steigungsbetrag. Zu überprüfen ist demnach, ob der Betrag der Steigung in den Wendepunkten höchstens 6% beträgt.

$\Rightarrow$ $x^2 - 3 = 0$ $\Rightarrow$ $x_1 = -\sqrt{3}$ und $x_2 =+\sqrt{3}$

$x_1$ und $x_2$ liefern Wendepunkte und somit Punkte größten Steigungsbetrags, da $h''(x)$ bei $x_{1;2}= \pm \sqrt{3}$ das Vorzeichen wechselt und zwischen den beiden Punkten negativ ist.

Für den Betrag der Steigung an den Wendepunkten gilt:

Bei einer maximalen Steigung von 9,6 % kann die Autobahnstrecke mit dem gegebenen Höhenprofil nicht gebaut werden.

Die Funktionswerte stimmen überein. Die Autobahn hätte an diesen Stellen also keinen "Sprung".

Die nach unten geöffnete Parabel hat ihren größten Steigungsbetrag jeweils am Rande ihres Definitionsbereiches, also an den Stellen $x\;=\;\pm2$.

Berechne den Steigungsbetrag der Parabel p und der Funktion h an den "Nahtstellen" $x=\pm2$.

Die Streckenabschnitte würden also an den Nahtstellen ohne Sprung und sogar ohne Knick in einander übergehen. Aber mit dem maximalen Steigungsbetrag von rund 9,5%.Der geplante Geländeabbau ist somit nicht ausreichend. Die Autobahnstrecke könnte mit diesem Höhenprofil nicht erneuert werden.

In dem gegebenen Geogebra-Applet kannst du die Planungssituation graphisch nachvollziehen und durch Verschieben der Punkte A, B, C und D die Steigungswerte überprüfen.