Sachaufgaben mit Quadratzahlen oder Quadratwurzeln

Felix ist ein großer FC Serlo Fan und möchte gerne das FC Serlo Logo an seine Zimmerwand malen. Sein Papa hat ihm zum einen weiße Farbe, die für eine Fläche von $0{,}5 \text{ m}^2$ reicht und zum anderen blaue Farbe, die für eine Fläche von $2 \text{ m}^2$ geeignet ist, gekauft. Dabei möchte Felix zuerst den großen Kreis zeichnen und mit blauer Farbe bemalen und anschließend den kleinen weißen Kreis darauf malen. Nun ist er auf der Suche nach einem passenden Zirkel, um die gesamte Farbe auch sinnvoll zu nutzen.

Welche der folgenden drei Zirkel, sollte Felix wählen?

Verwende für die Rechnung $\pi \approx3$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt vom Kreis

Variante 1: Bestimmung des Durchmessers

In dieser Variante bestimmen wir den Durchmesser des großen Kreises mithilfe des Flächeninhalts und vergleichen anschließend den Durchmesser mit dem maximalen Durchmesser der Zirkel.

Der Flächeninhalt des großen Kreises beträgt $2 \text{ m}^2$ . Um den Durchmesser zu bestimmen, brauchst zunächst den Radius. Den Radius kann man mit der Formel für den Flächeninhalt eines Kreises bestimmen.

$\displaystyle A_{\text{Kreis}}$	$=$	$\displaystyle \pi \cdot r^2$	$\displaystyle :\pi$
	↓	Löse nach dem Radius auf
$\displaystyle \dfrac{A_{\text{Kreis}}}{\pi}$	$=$	$\displaystyle r^2$	$\displaystyle \sqrt{ }$
	↓	Ziehe die Wurzel
$\displaystyle \sqrt{\dfrac{A_{\text{Kreis}}}{\pi}}$	$=$	$\displaystyle r$
	↓	Setze nun die Werte aus der Angabe ein
$\displaystyle r$	$=$	$\displaystyle \sqrt{\dfrac{2}{3}}$
$\displaystyle r$	$≈$	$\displaystyle 0{,}82$

Der Durchmesser des Kreises beträgt:

\displaystyle d=2\cdot r=2 \cdot 0{,}82 \text{ m} = 1{,}64 \text{ m}

Also ist nur der Zirkel mit maximalen Durchmesser von $\bf1{,}7 \textbf{ m}$ geeignet.

Variante 2: Bestimmung des Flächeninhalts

Eine weitere Möglichkeit diese Aufgabe zu lösen ist, indem man bestimmt, welche maximalen Kreisflächen man mit den drei Zirkeln zeichnen kann. Anschließend vergleicht man diese mit dem Flächeninhalt des großen Kreises.

$\color{B22222}\textbf{Maximaler Durchmesser} :\bf{d=1 \textbf{ m}}$

Der Radius ist die Hälfte des Durchmessers und du erhältst

$r= \dfrac{d}{2}=\dfrac{1 \text{ m}}{2}=0{,}5 \text { m}$ .

Nun kannst du den maximalen Flächeninhalt des Kreises berechnen:

$A_{\text{Kreis}}=\pi \cdot r^2 \approx 3\cdot (0{,}5 \text{ m})^2 = 3 \cdot 0{,}25 \text{ m}^2=0{,}75 \text{ m}^2$

Da $0{,}75 \text{ m}^2<2\text{ m}^2$ ist, reicht der Zirkel mit einem maximalen Durchmesser von $1 \text{ m}$ nicht aus die Farbe für das Logo sinnvoll zu nutzen.

$\color{B22222}\textbf{Maximaler Durchmesser} :\bf{d=0{,}8 \textbf{ m}}$

Der Radius ist die Hälfte des Durchmessers und du erhältst

$r= \dfrac{d}{2}=\dfrac{0{,}8 \text{ m}}{2}=0{,}4 \text { m}$ .

Nun kannst du den maximalen Flächeninhalt des Kreises berechnen:

$A_{\text{Kreis}}=\pi \cdot r^2 \approx 3\cdot (0{,}4 \text{ m})^2 =3\cdot 0{,}16 \text{ m}^2 =0{,}48 \text{ m}^2$

Da $0{,}48 \text{ m}^2<2\text{ m}^2$ ist, reicht der Zirkel mit einem maximalen Durchmesser von $0{,}8 \text{ m}$ nicht aus die Farbe für das Logo sinnvoll zu nutzen.

$\color{006400}\textbf{Maximaler Durchmesser} :\bf{d=1{,}7 \textbf{ m}}$

Der Radius ist die Hälfte des Durchmessers und du erhältst

$r= \dfrac{d}{2}=\dfrac{1{,}7 \text{ m}}{2}=0{,}85 \text { m}$

Nun kannst du den maximalen Flächeninhalt des Kreises berechnen:

$A_{\text{Kreis}}=\pi \cdot r^2 \approx 3\cdot (0{,}85 \text{ m})^2 =3\cdot 0{,}7225 \text{ m}^2 =2{,}1675 \text{ m}^2$

Da $2{,}1675 \text{ m}^2>2\text{ m}^2$ ist, reicht der Zirkel mit einem maximalen Durchmesser von $1{,}7 \text{ m}$ aus die Farbe für das Logo sinnvoll zu nutzen.

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