Sachaufgaben mit Quadratzahlen oder Quadratwurzeln

1
Wie lang muss ein Zaun sein, der ein quadratisches Grundstück der Fläche $6a\;25m^2$ umgibt?
m

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Viereck
Seitenlänge des Grundstücks
$6\,a\;25\,m^2$
6 Ar umrechnen in Quadratmeter und die gegebene Fläche in die Flächenformel des Quadrats einsetzen.
$x^2=625\,m^2$
Überlege: Welche Zahl im Quadrat ergibt 625?
$x=25\,m$
Umfang des Grundstücks
$x=25\,m$
Nimm die Seite des Quadrats mal 4 um den Umfang zu berechnen.
$U=4\cdot25\,m=100\,m$
$\Rightarrow$ Der Zaun muss $100\,m$ lang sein.
2
Martin möchte ein Beet anlegen. Das Beet soll quadratisch mit einer Länge von $0,5 m$ werden. Im Baumarkt will er sich nun spezielle Erde kaufen.
Seine Mutter hat bereits Erfahrung im Anlegen eines Beets. Sie meint, dass ein Beutel für $0{,}15m^2$ ausreicht. Reicht Martin ein Beutel, oder muss er mehr kaufen?
Ja, ein Beutel reicht.
Nein, ein Beutel reicht nicht.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadrat
Die Fläche für das Beet lässt sich mit der Formel für den Flächeninhalt eines Quadrats errechnen, wenn man für $a$ $0,5 m$ einsetzt:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} A_{Beet}&=&a^2 \\\\&=&(0{,}5m)^2 \\\\&=& 0{,}25m^2 \end{array}$
Da ein Beutel nur für $0{,}15m^2$ reicht muss er mehr nehmen.
Zwei Beutel entsprechen $2\cdot0{,}15m^2 = 0{,}3m^2$ .
Zwei Beutel sind also genug, denn Martin hätte nur $0{,}25m^2$ gebraucht.
3
Das orange Quadrat und das lila Rechteck haben den gleichen Flächeninhalt.
Die Seitenlängen des Rechtecks sind $b = 2 c m$ und $c = 8 c m$ .
Berechne die Seitenlänge a des Quadrats.
cm

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratwurzel
Für die Berechnung der Seitenlänge des Quadrats benötigt man den Flächeninhalt $A_{\rm Quadrat}$ des Quadrats. Das Rechteck und das Quadrat haben den gleichen Flächeninhalt, deshalb wird zuerst der Flächeninhalt des Rechtecks $A_{\rm Rechteck}$ berechnet:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} A_{Rechteck} &=& \mathrm{Länge} \cdot \mathrm{Breite} \\\\ &=& c \cdot b \\\\ &=&8\;\mathrm{cm} \cdot 2\;\mathrm{cm} \\\\ &=& 16\;\mathrm{cm}^2 \end{array}$
Der Flächeninhalt des Quadrats $A_{\rm Quadrat}$ ist $16\;\mathrm{cm}^2$ . Mit dieser Information kann nun die Seitenlänge $a$ des Quadrats berechnet werden:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} \mathrm{Länge} \cdot \mathrm{Breite} &=& A_{\rm Quadrat} \\\\ a \cdot a &=& 16\;\mathrm{cm}^2 \\\\ a^2 &=& 16\;\mathrm{cm}^2 \\\\ \sqrt{a^2} &=& \sqrt{16\;\mathrm{cm}^2} \\\\ a &=& 4\;\mathrm{cm} \end{array}$
Die Seitenlängen des Quadrats sind alle $4\;\mathrm{cm}$ lang.
Berechne zuerst den Flächeninhalt des Rechtecks. Das Quadrat hat den gleichen Flächeninhalt. Mit diesem Ergebnis kannst du nun die Seitenlänge $a$ berechnen.
4
Eine Fliese im Bad ist quadratisch und hat eine Fläche von $81 c m^{2}$ . Berechne die Länge der Seiten.
cm

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wurzel
Die Fliese hat eine quadratische Form. Aus diesem Grund sind alle Seite gleich lang. Um auf das Ergebnis zu kommen, muss die Wurzel von der Fläche genommen werden:
$\sqrt{81cm^2} = 9cm$
Jede Fliesenseite ist also $9 c m$ lang.
5
Tine möchte eine Katze aus quadratischen Mosaiksteinen bauen. Sie verwendet dafür eine Vorlage mit $7$ Reihen und $9$ Spalten. Insgesamt soll das komplette Bild der Katze $63 \; \mathrm{cm}^2$ groß sein. Tine überlegt, wie groß die Mosaiksteine dafür sein müssen. Hilf Tine und berechne die Seitenlänge der Steine.
$0{,}5 \; \mathrm{cm}$
$1 \; \mathrm{cm}$
$2 \; \mathrm{cm}$
$10 \; \mathrm{cm}$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wurzel
Das komplette Bild soll einen Größe von $63\;{\rm cm}^2$ haben. Die Fläche eines einzelnen Mosaiksteins kann berechnet werden, indem die Fläche des kompletten Katzenbilds durch die Anzahl der Steine geteilt wird.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} {\rm Anzahl \: der \: Steine} &=& 7 \cdot 9 \\\\ &=& 63 \end{array}$
Das Katzenbild besteht aus $63$ Mosaiksteinen.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} {\rm Fläche \: eines \: Steins} &=& {\rm Gesamtfläche \div Anzahl \:der \:Steine} \\\\ &=& 63\;{\rm cm}^2 \div 63 \\\\ &=& 1\;{\rm cm}^2 \end{array}$
Ein Mosaikstein hat die Größe von $1\;{\rm cm}^2$ .
Um die Seitenlänge zu berechnen, verwendet man die Formel für den Flächeninhalt. Da die Mosaiksteine quadratisch sind, entspricht die Länge der Breite.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}{\rm Länge} \cdot {\rm Breite} &=& {\rm Flächeninhalt} \\\\ a \cdot a&=& {\rm Flächeninhalt} \\\\ a^2 &=& 1\;{\rm cm}^2 \\\\ \sqrt{a^2} &=& \sqrt{1\;{\rm cm}^2} \\\\ a &=& 1\;{\rm cm} \end{array}$
Für das Katzenbild braucht Tine Mosaiksteine mit der Seitenlänge von $1\;{\rm cm}$ .

Felix ist ein großer FC Serlo Fan und möchte gerne das FC Serlo Logo an seine Zimmerwand malen. Sein Papa hat ihm zum einen weiße Farbe, die für eine Fläche von $0{,}5 \text{ m}^2$ reicht und zum anderen blaue Farbe, die für eine Fläche von $2 \text{ m}^2$ geeignet ist, gekauft. Dabei möchte Felix zuerst den großen Kreis zeichnen und mit blauer Farbe bemalen und anschließend den kleinen weißen Kreis darauf malen. Nun ist er auf der Suche nach einem passenden Zirkel, um die gesamte Farbe auch sinnvoll zu nutzen.

Welche der folgenden drei Zirkel, sollte Felix wählen?

Verwende für die Rechnung $\pi \approx3$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt vom Kreis

Variante 1: Bestimmung des Durchmessers

In dieser Variante bestimmen wir den Durchmesser des großen Kreises mithilfe des Flächeninhalts und vergleichen anschließend den Durchmesser mit dem maximalen Durchmesser der Zirkel.

Der Flächeninhalt des großen Kreises beträgt $2 \text{ m}^2$ . Um den Durchmesser zu bestimmen, brauchst zunächst den Radius. Den Radius kann man mit der Formel für den Flächeninhalt eines Kreises bestimmen.

$\displaystyle A_{\text{Kreis}}$	$=$	$\displaystyle \pi \cdot r^2$	$\displaystyle :\pi$
	↓	Löse nach dem Radius auf
$\displaystyle \dfrac{A_{\text{Kreis}}}{\pi}$	$=$	$\displaystyle r^2$	$\displaystyle \sqrt{ }$
	↓	Ziehe die Wurzel
$\displaystyle \sqrt{\dfrac{A_{\text{Kreis}}}{\pi}}$	$=$	$\displaystyle r$
	↓	Setze nun die Werte aus der Angabe ein
$\displaystyle r$	$=$	$\displaystyle \sqrt{\dfrac{2}{3}}$
$\displaystyle r$	$\approx ≈$	$\displaystyle 0{,}82$

Der Durchmesser des Kreises beträgt:

\displaystyle d=2\cdot r=2 \cdot 0{,}82 \text{ m} = 1{,}64 \text{ m}

Also ist nur der Zirkel mit maximalen Durchmesser von $\bf1{,}7 \textbf{ m}$ geeignet.

Variante 2: Bestimmung des Flächeninhalts

Eine weitere Möglichkeit diese Aufgabe zu lösen ist, indem man bestimmt, welche maximalen Kreisflächen man mit den drei Zirkeln zeichnen kann. Anschließend vergleicht man diese mit dem Flächeninhalt des großen Kreises.

$\color{B22222}\textbf{Maximaler Durchmesser} :\bf{d=1 \textbf{ m}}$

Der Radius ist die Hälfte des Durchmessers und du erhältst

$r= \dfrac{d}{2}=\dfrac{1 \text{ m}}{2}=0{,}5 \text { m}$ .

Nun kannst du den maximalen Flächeninhalt des Kreises berechnen:

$A_{\text{Kreis}}=\pi \cdot r^2 \approx 3\cdot (0{,}5 \text{ m})^2 = 3 \cdot 0{,}25 \text{ m}^2=0{,}75 \text{ m}^2$

Da $0{,}75 \text{ m}^2<2\text{ m}^2$ ist, reicht der Zirkel mit einem maximalen Durchmesser von $1 \text{ m}$ nicht aus die Farbe für das Logo sinnvoll zu nutzen.

$\color{B22222}\textbf{Maximaler Durchmesser} :\bf{d=0{,}8 \textbf{ m}}$

Der Radius ist die Hälfte des Durchmessers und du erhältst

$r= \dfrac{d}{2}=\dfrac{0{,}8 \text{ m}}{2}=0{,}4 \text { m}$ .

Nun kannst du den maximalen Flächeninhalt des Kreises berechnen:

$A_{\text{Kreis}}=\pi \cdot r^2 \approx 3\cdot (0{,}4 \text{ m})^2 =3\cdot 0{,}16 \text{ m}^2 =0{,}48 \text{ m}^2$

Da $0{,}48 \text{ m}^2<2\text{ m}^2$ ist, reicht der Zirkel mit einem maximalen Durchmesser von $0{,}8 \text{ m}$ nicht aus die Farbe für das Logo sinnvoll zu nutzen.

$\color{006400}\textbf{Maximaler Durchmesser} :\bf{d=1{,}7 \textbf{ m}}$

Der Radius ist die Hälfte des Durchmessers und du erhältst

$r= \dfrac{d}{2}=\dfrac{1{,}7 \text{ m}}{2}=0{,}85 \text { m}$

Nun kannst du den maximalen Flächeninhalt des Kreises berechnen:

$A_{\text{Kreis}}=\pi \cdot r^2 \approx 3\cdot (0{,}85 \text{ m})^2 =3\cdot 0{,}7225 \text{ m}^2 =2{,}1675 \text{ m}^2$

Da $2{,}1675 \text{ m}^2>2\text{ m}^2$ ist, reicht der Zirkel mit einem maximalen Durchmesser von $1{,}7 \text{ m}$ aus die Farbe für das Logo sinnvoll zu nutzen.

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Sachaufgaben mit Quadratzahlen oder Quadratwurzeln

Seitenlänge des Grundstücks

Umfang des Grundstücks

Variante 1: Bestimmung des Durchmessers

Variante 2: Bestimmung des Flächeninhalts