Sachaufgaben mit Quadratzahlen oder Quadratwurzeln

Seitenlänge des Grundstücks

Umfang des Grundstücks

$\Rightarrow$ Der Zaun muss $100\,m$ lang sein.

Die Fläche für das Beet lässt sich mit der Formel für den Flächeninhalt eines Quadrats errechnen, wenn man für $a$ $0{,}5m$ einsetzt:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} A_{Beet}&=&a^2 \\\\&=&(0{,}5m)^2 \\\\&=& 0{,}25m^2 \end{array}$

Da ein Beutel nur für $0{,}15m^2$ reicht muss er mehr nehmen.

Zwei Beutel entsprechen $2\cdot0{,}15m^2 = 0{,}3m^2$ .

Zwei Beutel sind also genug, denn Martin hätte nur $0{,}25m^2$ gebraucht.

Für die Berechnung der Seitenlänge des Quadrats benötigt man den Flächeninhalt $A_{\rm Quadrat}$ des Quadrats. Das Rechteck und das Quadrat haben den gleichen Flächeninhalt, deshalb wird zuerst der Flächeninhalt des Rechtecks $A_{\rm Rechteck}$berechnet:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} A_{Rechteck} &=& \mathrm{Länge} \cdot \mathrm{Breite} \\\\ &=& c \cdot b \\\\ &=&8\;\mathrm{cm} \cdot 2\;\mathrm{cm} \\\\ &=& 16\;\mathrm{cm}^2 \end{array}$

Der Flächeninhalt des Quadrats $A_{\rm Quadrat}$ ist $16\;\mathrm{cm}^2$. Mit dieser Information kann nun die Seitenlänge $a$ des Quadrats berechnet werden:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} \mathrm{Länge} \cdot \mathrm{Breite} &=& A_{\rm Quadrat} \\\\ a \cdot a &=& 16\;\mathrm{cm}^2 \\\\ a^2 &=& 16\;\mathrm{cm}^2 \\\\ \sqrt{a^2} &=& \sqrt{16\;\mathrm{cm}^2} \\\\ a &=& 4\;\mathrm{cm} \end{array}$

Die Seitenlängen des Quadrats sind alle $4\;\mathrm{cm}$ lang.

Die Fliese hat eine quadratische Form. Aus diesem Grund sind alle Seite gleich lang. Um auf das Ergebnis zu kommen, muss die Wurzel von der Fläche genommen werden:

$\sqrt{81cm^2} = 9cm$

Jede Fliesenseite ist also $9cm$ lang.

Das komplette Bild soll einen Größe von $63\;{\rm cm}^2$ haben. Die Fläche eines einzelnen Mosaiksteins kann berechnet werden, indem die Fläche des kompletten Katzenbilds durch die Anzahl der Steine geteilt wird.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} {\rm Anzahl \: der \: Steine} &=& 7 \cdot 9 \\\\ &=& 63 \end{array}$

Das Katzenbild besteht aus $63$ Mosaiksteinen.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} {\rm Fläche \: eines \: Steins} &=& {\rm Gesamtfläche \div Anzahl \:der \:Steine} \\\\ &=& 63\;{\rm cm}^2 \div 63 \\\\ &=& 1\;{\rm cm}^2 \end{array}$

Ein Mosaikstein hat die Größe von $1\;{\rm cm}^2$.

Um die Seitenlänge zu berechnen, verwendet man die Formel für den Flächeninhalt. Da die Mosaiksteine quadratisch sind, entspricht die Länge der Breite.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}{\rm Länge} \cdot {\rm Breite} &=& {\rm Flächeninhalt} \\\\ a \cdot a&=& {\rm Flächeninhalt} \\\\ a^2 &=& 1\;{\rm cm}^2 \\\\ \sqrt{a^2} &=& \sqrt{1\;{\rm cm}^2} \\\\ a &=& 1\;{\rm cm} \end{array}$

Für das Katzenbild braucht Tine Mosaiksteine mit der Seitenlänge von $1\;{\rm cm}$.

Variante 1: Bestimmung des Durchmessers

In dieser Variante bestimmen wir den Durchmesser des großen Kreises mithilfe des Flächeninhalts und vergleichen anschließend den Durchmesser mit dem maximalen Durchmesser der Zirkel.

Der Flächeninhalt des großen Kreises beträgt $2 \text{ m}^2$. Um den Durchmesser zu bestimmen, brauchst zunächst den Radius. Den Radius kann man mit der Formel für den Flächeninhalt eines Kreises bestimmen.

Der Durchmesser des Kreises beträgt:

Also ist nur der Zirkel mit maximalen Durchmesser von $\bf1{,}7 \textbf{ m}$ geeignet.

Variante 2: Bestimmung des Flächeninhalts

Eine weitere Möglichkeit diese Aufgabe zu lösen ist, indem man bestimmt, welche maximalen Kreisflächen man mit den drei Zirkeln zeichnen kann. Anschließend vergleicht man diese mit dem Flächeninhalt des großen Kreises.

$\color{B22222}\textbf{Maximaler Durchmesser} :\bf{d=1 \textbf{ m}}$

Der Radius ist die Hälfte des Durchmessers und du erhältst

$r= \dfrac{d}{2}=\dfrac{1 \text{ m}}{2}=0{,}5 \text { m}$.

Nun kannst du den maximalen Flächeninhalt des Kreises berechnen:

$A_{\text{Kreis}}=\pi \cdot r^2 \approx 3\cdot (0{,}5 \text{ m})^2 = 3 \cdot 0{,}25 \text{ m}^2=0{,}75 \text{ m}^2$

Da $0{,}75 \text{ m}^2<2\text{ m}^2$ ist, reicht der Zirkel mit einem maximalen Durchmesser von $1 \text{ m}$ nicht aus die Farbe für das Logo sinnvoll zu nutzen.

$\color{B22222}\textbf{Maximaler Durchmesser} :\bf{d=0{,}8 \textbf{ m}}$

Der Radius ist die Hälfte des Durchmessers und du erhältst

$r= \dfrac{d}{2}=\dfrac{0{,}8 \text{ m}}{2}=0{,}4 \text { m}$.

Nun kannst du den maximalen Flächeninhalt des Kreises berechnen:

$A_{\text{Kreis}}=\pi \cdot r^2 \approx 3\cdot (0{,}4 \text{ m})^2 =3\cdot 0{,}16 \text{ m}^2 =0{,}48 \text{ m}^2$

Da $0{,}48 \text{ m}^2<2\text{ m}^2$ ist, reicht der Zirkel mit einem maximalen Durchmesser von $0{,}8 \text{ m}$ nicht aus die Farbe für das Logo sinnvoll zu nutzen.

$\color{006400}\textbf{Maximaler Durchmesser} :\bf{d=1{,}7 \textbf{ m}}$

Der Radius ist die Hälfte des Durchmessers und du erhältst

$r= \dfrac{d}{2}=\dfrac{1{,}7 \text{ m}}{2}=0{,}85 \text { m}$

Nun kannst du den maximalen Flächeninhalt des Kreises berechnen:

$A_{\text{Kreis}}=\pi \cdot r^2 \approx 3\cdot (0{,}85 \text{ m})^2 =3\cdot 0{,}7225 \text{ m}^2 =2{,}1675 \text{ m}^2$

Da $2{,}1675 \text{ m}^2>2\text{ m}^2$ ist, reicht der Zirkel mit einem maximalen Durchmesser von $1{,}7 \text{ m}$ aus die Farbe für das Logo sinnvoll zu nutzen.