Ähnlichkeit

Zwei geometrische Figuren heißen zueinander ähnlich, wenn sie in ihrer Form exakt miteinander übereinstimmen. Eine ähnliche Figur kann verschoben, gedreht oder sogar gespiegelt sein.

Ihre Größe kann dabei verschieden sein, sodass eine ähnliche Figur um den Ähnlichkeitsfaktor $k>0$ vergrößert bzw. verkleinert wurde.

Sind Figuren ähnlich, wie in der Abbildung die Rechtecke $A,\ B$ oder Fünfecke $C,\ D$ so schreibe:

• Verschiebung aller Punkte um die gleiche Strecke. Diese Strecken müssen alle in dieselbe Richtung zeigen, also parallel sein.

• Drehung um einen Winkel $\alpha$.

• Spiegelung an einer Geraden. Hierbei wird jeder Punkt einzeln gespiegelt.

• Vergrößerung bzw. Verkleinerung. Diese werden geometrisch durch die zentrische Streckung konstruiert.

• Jede Seite der Figur wurde um den Ähnlichkeitsfaktor $k$ verkleinert.

Sind zwei ähnliche Figuren $A$ und $B$ gegeben, so stehen alle ihre Seiten im Verhältnis des Ähnlichkeitsfaktors $k$.

Aus dem nebenstehenden Dreieck soll eine ähnliche Figur konstruiert werden, welche um den Ähnlichkeitsfaktor $k=2{,}5$ vergrößert wurde.

Die neuen Seitenlängen betragen nun:

• $a'=a\cdot k=10{,}2\cdot2{,}5=25{,}5~cm.$

• $b'=b\cdot k=11{,}5\cdot2{,}5=28{,}75~cm.$

• $c'=c\cdot k=9\cdot2{,}5=22{,}5~cm.$

Das Wort Ähnlichkeit in unserem Sprachgebrauch führt zu einer anderen Vorstellung, wie sie in der Mathematik gemeint ist.

Diese Vierecke haben in etwa die gleiche Form, sind im mathematischen Sinne aber nicht ähnlich, denn für ihre Seiten gilt:

$\dfrac{a}{a'}=\dfrac{b}{b'}=k,~\text{aber}~\dfrac{c}{c'}\neq k,~\dfrac{d}{d'}\neq k$

Somit sind sie nicht ähnlich, schreibe $A\nsim B$.

Zusammenhang zwischen Ähnlichkeit und Kongruenz

Kongruente Dreiecke sind durch Verschiebung, Drehung und Spiegelung ineinander überführbar. Ähnliche Dreiecke sind zusätzlich mit einer Vergrößerung/Verkleinerung zu erhalten, was Ähnlichkeit als Konzept etwas allgemeiner macht als Kongruenz. Deshalb gilt auch: