Geometrisches Mittel

Geometrisches Mittel c von a und b

Das geometrische Mittel ist ein Mittelwert der Statistik. Es ist immer kleiner oder gleich dem arithmetischen Mittel.

Formel

Um das geometrische Mittel von $n$ Zahlen ${ x}_1,{ x}_2,…,{ x}_ n$ zu ermitteln, muss man deren Produkt bilden und von diesem die $n$ -te Wurzel ziehen.

Damit ergibt sich die Formel:

$G({ x}_1,{x}_2,…,{x}_n)={\overline{ x}}_\mathrm{geom}={\sqrt[ n]{{ x}_1\cdot{ x}_2\cdots x}}_n=\sqrt[n]{{\textstyle\prod_{i=1}^n}{x}_i}$ .

Wichtig

Keiner der Werte darf negativ sein. Sonst steht möglicherweise etwas Negatives unter der Wurzel stehen.
Keiner der Werte darf $0$ sein. Sonst wäre das Ergebnis auch $0$ .

Geometrische Interpretation

Berechnet man das geometrische Mittel zweier Zahlen $a$ und $b$ , $\mathrm G(a,\;b)={\overline{x}}_\mathrm{geom}=\sqrt[2]{ a\cdot b}=\sqrt{a\cdot b}$ , so kann man das geometrische Mittel als die Seitenlänge $c$ eines Quadrats interpretieren, welches den gleichen Flächeninhalt wie das Rechteck mit den Seitenlängen $a$ und $b$ hat.

Anwendung

Gerade für die Finanzmathematik ist das geometrische Mittel wichtig, da man mit ihm durchschnittliche Wachstumsfaktoren, wie zum Beispiel das BIP-Wachstum oder das durchschnittliche Wachstum der Unternehmensgewinne, berechnet werden können.

Beispiel 1

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Beispiel 2 mit Herleitung

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