Sachaufgaben zu linearen Funktionen

Eine Kerze ist anfangs $18\; \text{cm}$ lang. Wenn sie brennt, wird sie in jeder Stunde um $1{,}5\; \text{cm}$ kürzer.

Wie viele Stunden dauert es, bis die Kerze ganz abgebrannt ist?
Stunden

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Pro Stunde wird die Kerze um $1{,}5\; \text{cm}$ kürzer. Die Brenndauer in Stunden erhältst du, indem du berechnest, wie oft die $1{,}5\; \text{cm}$ in der Gesamtlänge von $18\; \text{cm}$ enthalten sind. $\Rightarrow \dfrac{18}{1{,}5}=12$
Antwort: Nach $12$ Stunden ist die Kerze abgebrannt.
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Zeichne den Graphen der Funktion $f$ :
Brenndauer $x$ $\left(\text{in}\;\text{Stunden}\right)$ $\mapsto$ Länge $y$ $\left(\text{in}\;\text{cm}\right)$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Graph der Funktion $f$
Zum Zeichnen einer linearen Funktion brauchst du zwei Punkte, die auf dem Graphen der Funktion liegen.
Ein Punkt ist in der Aufgabenstellung gegeben. Am Anfang $x = 0$ ist die Kerze $18\; \text{cm}$ lang $\Rightarrow P\left(0 \vert 18\right)$ .
Im Aufgabenteil a) hast du die Zeit $x = 12$ Stunden berechnet, nach der die Kerze abgebrannt ist, d.h. die Kerzenlänge ist $0\; \text{cm}\Rightarrow Q\left(12 \vert 0\right)$ .
Zeichne die beiden Punkte in ein Koordinatensystem ein und verbinde sie.
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Notiere die Funktionsgleichung.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Funktionsgleichung
Beispiele für die Kerzenlänge $\textcolor{006400}{y}$ nach einer bestimmten Brenndauer $\textcolor{ff6600}{x}$ Stunden.
Am Anfang ist die Kerze $\textcolor{006400}{y}=18\; \text{cm}$ lang.
Brenndauer $\textcolor{ff6600}{1}$ Stunde : Nach $\textcolor{ff6600}{1}$ Stunde hat sie noch eine Länge von:
$\displaystyle \textcolor{006400}{y}=18\; \text{cm}-1{,}5\; \text{cm}\cdot \textcolor{ff6600}{1}=16{,}5 \; \text{cm}$
Brenndauer $\textcolor{ff6600}{2}$ Stunden: Nach $\textcolor{ff6600}{2}$ Stunden hat sie dann eine Länge von:
$\displaystyle \textcolor{006400}{y}=18\; \text{cm}-1{,}5\; \text{cm}\cdot\textcolor{ff6600}{2}=15 \; \text{cm}$
Brenndauer $\textcolor{ff6600}{x}$ Stunden: Nach $\textcolor{ff6600}{x}$ Stunden hat sie eine Länge von:
$\displaystyle \textcolor{006400}{y} = 18-1{,}5\cdot \textcolor{ff6600}{x}$
In der Normalform geschrieben lautet die Funktionsgleichung: $y=-1{,}5\cdot x+18$
Antwort: Die Funktionsgleichung für die Länge der Kerze in Abhängigkeit von der Zeit lautet:
$\displaystyle y=-1{,}5\cdot x+18$
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Berechne die Länge der Kerze nach $5$ bzw. $8$ Stunden. Überprüfe deine berechneten Werte anhand des Graphen.

Berechne, nach wie viel Stunden die Kerze nur noch $3\; \text{cm}$ lang ist.

Stunden

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle 18-1{,}5\cdot x$
	↓	$x = 5$ einsetzen
	$=$	$\displaystyle 18-1{,}5\cdot5$
	$=$	$\displaystyle 18-7{,}5$
	$=$	$\displaystyle 10{,}5$

$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle 18-1{,}5\cdot x$
	↓	$x = 8$ einsetzen
	$=$	$\displaystyle 18-1{,}5\cdot8$
	$=$	$\displaystyle 18-12$
	$=$	$\displaystyle 6$

$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle 18-1{,}5\cdot x$
	↓	$y = 3$ einsetzen
$\displaystyle 3$	$=$	$\displaystyle 18-1{,}5\cdot x$	$\displaystyle +1{,}5 \cdot x$
	↓	Terme mit $x$ auf die linke Gleichungsseite
$\displaystyle 3+1{,}5 \cdot x$	$=$	$\displaystyle 18$	$\displaystyle -3$
	↓	alle Zahlen auf die rechte Gleichungsseite
$\displaystyle 1{,}5 \cdot x$	$=$	$\displaystyle 15$	$\displaystyle :1{,}5$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \dfrac{15}{1{,}5}$
	$=$	$\displaystyle 10$

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Graph der Funktion $f$

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Funktionsgleichung

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Setze $x = 5$ in die Funktionsgleichung ein.

Setze $x = 8$ in die Funktionsgleichung ein.

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Setze in die Funktionsgleichung für $y$ den Wert $3$ ein und löse nach $x$ auf.

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Graph der Funktion fff

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Funktionsgleichung

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Setze x=5x=5x=5 in die Funktionsgleichung ein.

Setze x=8x=8x=8 in die Funktionsgleichung ein.

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Setze in die Funktionsgleichung für yyy den Wert 333 ein und löse nach xxx auf.

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Graph der Funktion $f$

Setze $x = 5$ in die Funktionsgleichung ein.

Setze $x = 8$ in die Funktionsgleichung ein.

Setze in die Funktionsgleichung für $y$ den Wert $3$ ein und löse nach $x$ auf.