Sachaufgaben zu linearen Funktionen

Hier findest du Anwendungs- und Sachaufgaben zu linearen Funktionen, die dein Verständnis testen.

1
Begründe, ob folgende Zuordnungen linear, proportional oder nicht-linear sind.
1. Anzahl der eingekauften Gurken $\mapsto$ Gesamtpreis der Gurken
  linear
  proportional
  nicht-linear
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Funktionen
  Die Zuordnung ist linear und sogar proportional.
  Der Preis der Gurken berechnet sich pro Stück. Daher kosten doppelt so viele Gurken, doppelt so viel und fünfmal so viele Gurken, fünfmal so viel.
  Ergänzung
  Der Graph einer zugehörigen Funktion könnte so aussehen:
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2. Alter $\mapsto$ Körpergröße
  linear
  proportional
  nicht-linear
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Funktionen
  Diese Zuordnung ist nicht linear, also insbesondere auch nicht proportional.
  Bis zum Alter von ca. 18 Jahren wächst man noch. Danach ist das Wachstum abgeschlossen. Daher kann die Zuordnung nicht linear sein.
  Ergänzung
  Der Graph einer zugehörigen Funktion könnte so aussehen:
  (Der Graph ist vereinfacht.)
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3. Menge an Reis $\mapsto$ Gesamtgewicht der Schüssel mit dem Reis
  linear
  proportional
  nicht-linear
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Funktionen
  Diese Zuordnung ist linear, aber nicht proportional.
  Das Gewicht der gefüllten Schüssel nimmt mit zunehmender Menge an Reis linear zu. Da die Schüssel jedoch ein eigenes Gewicht hat, ist die Zuordnung nicht proportional. Die gefüllte Schüssel wiegt bei doppelter Menge Reis nicht doppelt so viel.
  Ergänzung
  Der Graph einer zugehörigen Funktion könnte so aussehen:
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4. Geldwert in € $\mapsto$ Geldwert in $
  linear
  proportional
  nicht-linear
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Funktionen
  Die Zuordnung ist linear und sogar proportional.
  Der Wechselkurs zwischen € und $ gibt an wie viel $ man für 1 € erhält. Je mehr Geld du in € hast, desto höher ist dessen Geldwert in $. Doppelt so viel Geld in €, ist doppelt so viel Wert in $. Zehnmal so viel Geld in €, ist zehnmal so viel Wert in $, usw. Die Zuordnung ist daher linear und sogar proportional.
  Ergänzung
  Der Graph einer zugehörigen Funktion könnte so aussehen:
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5. Lernzeit für eine Prüfung $\mapsto$ Punkte in der Prüfung
  linear
  proportional
  nicht-linear
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Funktionen
  Diese Zuordnung ist nicht linear, also insbesondere auch nicht proportional.
  Je mehr du lernst, desto wahrscheinlicher ist es zwar, dass du eine bessere Note und mehr Punkte in der Prüfung erhältst. Jedoch kannst du zum Beispiel phasenweise nicht sehr konzentriert lernen, sodass so deine Note kaum beeinflusst wird. Außerdem kannst du nach einer gewissen Lerndauer so gut gelernt haben, dass du in der Prüfund die volle Punktzahl schreibst. Weiteres Lernen führt dann zu keiner Verbesserung mehr.
  Ergänzung
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6. Seitenlänge eines Quadrats $\mapsto$ Fläche des Quadrats
  linear
  proportional
  nicht-linear
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Funktionen
  Diese Zuordnung ist nicht linear, also insbesondere auch nicht proportional.
  Der Flächeninhalt eines Quadrats mit der Seitenlänge $a$ berechnet sich über $A_{\square}=a^2$ . Eine Verdoppelung der Seitenlänge führt zu einer Vervierfachung des Flächeninhalts. Eine Verdreifachung der Seitenlänge zu einer verneunfachung des Flächeninhalts.
  Dies kannst du dir z.B. anhand eines Beispiels und einer Wertetabelle klar machen.
  Die Zuordnung ist dadurch nicht linear und nicht proportional.
  Ergänzung
  Nimm zum Beispiel ein Quadrat mit Seitenlänge 1 LE. Berechne den Flächeninhalt des Quadrats. verändere nun die Seitenlänge und trage dies in eine Wertetabelle ein.
  a
  1 LE
  2 LE
  3 LE
  4 LE
  5 LE
  $A_\square$
  1 FE
  4 FE
  9 FE
  16 FE
  25 FE
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7. Anzahl der Schokoriegel $\mapsto$ Anzahl der durch die Schokoriegel zugeführten Kalorien
  linear
  proportional
  nicht-linear
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Funktionen
  Die Zuordnung ist linear und sogar proportional.
  Jeder Schokoriegel hat eine bestimmte Anzahl an Kalorien. Wenn du doppelt so viele Schokoriegel isst, nimmst du dadurch auch doppelt so viel Kalorien zu dir als wenn du einen Schokoriegel isst. Drei Riegel verdreifachen die Kalorien, usw
  Ergänzung
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8. Anzahl der Getränke bei einem Diskobesuch $\mapsto$ Kosten für einen Diskobesuch
  (Alle Getränke kosten gleich viel.)
  linear
  proportional
  nicht-linear
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Funktionen
  Diese Zuordnung ist linear, aber nicht proportional.
  Für den Eintritt in eine Diskothek musst du Eintritt bezahlen. Darüber hinaus zahlst du für jedes Getränk eine bestimmte Summe. Daher setzen sich die Kosten wie folgt zusammen:
  $\text{Kosten} = \text{Eintritt} + \text{Anzahl der Getränke} \cdot \text{Getränkepreis}$
  Aufgrund des Eintrittspreises ist die Zuordnung nicht proportional.
  Ergänzung
  Der Graph einer zugehörigen Funktion könnte so aussehen:
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123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
Ein Auto besitzt einen Treibstoffvorrat von 56 Liter Benzin. Auf 100km verbraucht es 7,5 Liter.
1. Erstelle eine Tabelle für den Verbrauch in Litern. Wähle eine Strecke von 0km bis 600km (100km Abstand)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineares Wachstum
  Strecke
  0 km
  100 km
  200 km
  300 km
  400 km
  500 km
  600 km
  Verbrauch
  0 l
  7,5 l
  15 l
  22,5 l
  30 l
  37,5 l
  45 l
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2. Stelle den Zusammenhang graphisch dar.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
  Du kannst die Funktion in dein Koordinatensystem einzeichnen, indem du die Punkte aus der Tabelle aus Teilaufgabe $a)$ einträgst und diese anschließend mit einer Geraden verbindest.
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3. Nach wie viel km wäre der Benzinvorrat aufgebraucht? Bei einem Benzinvorrat von 5L soll der Fahrer tanken gehen. Nach wie viel km muss es erfolgen?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
  Zuerst solltest du den Benzinverbrauch als Lineare Funktion darstellen. Diese hat die Form: $f(x)\ =\ mx\ +\ b$ und $x$ steht für die gefahrene Strecke, während $f(x)$ das verbrauchte Benzin angibt. Die Werte von $m$ und $b$ kannst du nun bestimmen, indem du zwei Punkte aus der Wertetabelle einsetzt.
  Die lineare Funktion, die den Benzinverbrauch für eine gewisse Anzahl gefahrener Kilometer angibt ist :
  Nach wie vielen Kilometern ist der Tank leer?
  In den Tank passen $56\,\text{Liter}$ Benzin, diesen Wert kannst du nun als $f(x)$ einsetzen und den zugehörigen $x$ -Wert berechnen:
  Der Tank ist also nach ungefähr $746\ \text{km}$ leer.
  Nach wie vielen Kilometern muss der Fahrer tanken?
  Der Fahrer soll tanken, wenn noch $5 \,\text{Liter}$ Benzin im Tank sind. Da am Anfang $56\,\text{Liter}$ im Tank sind werden also $51\,\text{Liter}$ verbraucht. Das kannst du so in die Funktion einsetzen wie gerade:
  Der Fahrer muss also nach $680 \,\text{km}$ zum tanken.
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3
123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
Herr Breuer hat einen Handyvertrag mit folgenden Konditionen abgeschlossen:
Monatliche Grundgebühr 20€, Telefonkosten pro Minute 0,35€.
1. Wie hoch ist seine Monatsrechnung, wenn er 40, 80 oder 120 Minuten telefoniert?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
  Grundgebühr: 20€
  Kosten pro Minute: 0,35€
  Monatsrechnung ist Grundgebühr plus Kosten für telefonierte Minuten.
  Monatsrechnung bei 40 Minuten
  Herr Breuer hat 40 Minuten telefoniert.
  Berechne die Kosten für diese 40 Minuten.
  $40\cdot 0{,}35€=14€$
  Fasse zur Monatsrechnung zusammen.
  Gesamtkosten = $20€+14€=34€$
  Herr Breuer zahlt 34€ wenn er 40 Minuten telefoniert.
  Monatsrechnung bei 80 Minuten
  Herr Breuer hat 80 Minuten telefoniert.
  Berechne die Kosten für diese 80 Minuten.
  $80\cdot 0{,}35€=28€$
  Fasse zur Monatsrechnung zusammen.
  Gesamtkosten = $20€+28€=48€$
  Herr Breuer zahlt 48€ wenn er 80 Minuten telefoniert.
  Monatsrechnung bei 120 Minuten
  Herr Breuer hat 120 Minuten telefoniert.
  Berechne die Kosten für diese 120 Minuten.
  $120\cdot 0{,}35€=42€$
  Fasse zur Monatsrechnung zusammen.
  Gesamtkosten = $20€+42€=62€$
  Herr Breuer zahlt 62€ wenn er 120 Minuten telefoniert.
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2. Erstelle einen Term für die monatlichen Kosten in Abhängigkeit von der Gesprächsdauer in Minuten.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
  Monatliche Kosten = Grundgebühr + Kosten für telefonierte Minuten.
  Sei $x$ Anzahl der telefonierten Minuten.
  Berechne damit die Kosten.
  Kosten = $20€+0{,}35€\cdot x$
  Drücke das als lineare Funktion aus.
  $f(x)=0{,}35\cdot x+20$
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3. Stelle den Zusammenhang graphisch dar.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
  $f(x)=0{,}35x+20$
  Diese Funktion hat den y-Achsenabschnitt $20$ , schneidet die $y$ -Achse also in $(0|20)$ . Ihre Steigung ist $0{,}35$ . Zeichne also einen Punkt bei z.B. $(10\;|\;20+10\cdot0{,}35)=(10\,|\,23{,}5)$ . Verbinde diese Punkte zur gesuchten Geraden.
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a	1 LE	2 LE	3 LE	4 LE	5 LE
$A_\square$	1 FE	4 FE	9 FE	16 FE	25 FE

Strecke	0 km	100 km	200 km	300 km	400 km	500 km	600 km
Verbrauch	0 l	7,5 l	15 l	22,5 l	30 l	37,5 l	45 l

Folgende Tabelle gibt für einige Temperaturen den Wert in Grad Celsius (°C) und Grad Fahrenheit (°F) an.

Temperatur in Celsius	Temperatur in Fahrenheit
-10°	14°
0°	32°
20°	68°
60°	140°

Es handelt sich um einen linearen Zusammenhang. Zeichne mit der Tabelle einen Graphen (x-Achse=Grad Celsius, y-Achse=Grad Fahrenheit) und gib eine Formel an, mit der man Grad Celsius in Grad Fahrenheit umrechnet.

Ein Lieferwagen, der mit 1,2 t beladen ist, transportiert x Stücke zu je $25\;kg$ und y Kisten zu je $150\;kg$ .

Stelle den Zusammenhang zwischen x und y in einem Diagramm dar.
Welche Punkte $\left(x;\;y\right)$ sind möglich, wenn der Lieferwagen maximal 1,2 t beladen ist?

6
123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
Eine Zeitschrift, die zum Preis von $2{,}20$  € zu kaufen ist, hat eine Auflage von $120\, 000$ Exemplaren. Mit Hilfe der Marktforschung stellt der Verlag fest, dass sich die Auflage bei einer Preissenkung um $0{,}20$  € pro Zeitschrift um $5000$ Exemplare erhöhen lässt, bei einer Preiserhöhung von $0{,}20$  € verliert man $5000$ Käufer.
1. Berechnen Sie den Preis bei einer Auflage von 140 000 Exemplaren.
  €
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineares Wachstum
  Anstieg auf 140 000 Exemplare
  Bestimme, um wieviel sich die Auflage verändert hat.
  $\Delta N=140\,000-120\;000=20\,000$
  Bestimme die Änderungsrate a aus der Aufgabenstellung. Beachte, dass dabei die bekannte Änderung (N) im Nenner steht.
  $a=\frac{\Delta p}{\Delta N}=\frac{-0{,}2}{5000}=-0{,}00004$
  Bestimme daraus die Preisänderung.
  $\Delta p = a\cdot \Delta N=-0{,}00004\cdot 20\, 000=-0{,}8$
  Berechne damit den neuen Preis.
  $p_{neu}=p_{alt}+\Delta p=2{,}2-0{,}8=1{,}4$
  Bei einer Auflage von 140 000 beträgt der Preis also 1,40€.
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2. Welche Verkaufszahlen kann der Verlag erwarten, wenn er den Preis der Zeitschrift auf 1,50€ senkt?
  Stück
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineares Wachstum
  Der Preis ist auf 1,50€ gefallen.
  Bestimme die Preisänderung.
  $\Delta p=p_{neu}-p_{alt}=1{,}5-2{,}2=-0{,}7$
  Bestimme Änderungsrate a aus der Aufgabenstellung. Beachte dabei, dass die bekannte Änderung (p) im Nenner steht.
  $a=\frac{\Delta N}{\Delta p}=\frac{-5000}{0{,}2}=-25\,000$
  Bestimme damit die Änderung der Auflage.
  $\Delta N=a\cdot \Delta p=(-25\,000) \cdot (-0{,}7)=17\,500$
  Bestimme die neue Auflage.
  $N_{neu}=N_{alt}+\Delta N=120\,000+17\,500=137\,500$
  Bei einem Preis von 1,50€ ist die Auflage also 137 500 Stück.
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7
“Es ist eine ganz langsam verlaufende völlig undramatische Trennungsgeschichte, Schritt für Schritt: Zwei Zentimeter pro Jahr entfernt sich die Eurasische Kontinentalplatte von der Nordamerikanischen Platte. Würde man heute dem Kurs von Kolumbus folgen, der von Andalusien in die Neue Welt fuhr, müsste man circa ___ Meter mehr an Strecke überwinden. Das bringt einen Kapitän von heute auf der mehr als 6.000 Kilometer langen Fahrt zwischen Europa und Amerika wohl kaum aus der Ruhe.”
1. Um wie viele Meter hat sich die Strecke verlängert?
  m
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
  Tipp: Kolumbus entdeckte 1492 den Kontinent Amerika.
  Diese Lösung bezieht sich auf das Erstellungsjahr 2018 und muss gegebenenfalls angepasst werden. Zunächst berechnen wir den Zeitraum, der seit der Entdeckung von Amerika im Jahr 1492 vergangen ist:
  $2018-1492=526$
  Berechnung der Strecke in Zentimeter
  $2\,\text{cm}\cdot526=1052\,\text{cm}$
  Umrechnen von $\mathrm{cm}$ in $\mathrm m$
  $1052\,\text{cm}\cdot10^{-2}=10{,}52\,\text{m}$
  Die Strecke hat sich bereits um $10{,}52\,\mathrm m$ verlängert.
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2. In wie vielen Jahren kommen weitere 5 Meter Distanz zwischen den Kontinentalplatten hinzu?
  Jahren
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
  Umrechnen von $\mathrm m$ in $\mathrm{cm}$ .
  $5{,}00\,\mathrm m\cdot10^2=500\,\mathrm{cm}$
  Berechnung der Jahre.
  $500\,\mathrm{cm}/2\,\mathrm{cm}=250$
  In 250 Jahren kommen weitere $5{,}0\ m$ Distanz zwischen den Kontinentalplatten hinzu.
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8
Ein Patient erhält eine Infusion. Eine volle Flasche enthält dabei 40ml Infussionsflüssigkeit. Die Tropfgeschwindigkeit wird so eingestellt, dass 3ml der Flüssigkeit pro Minute durchlaufen. Sobald weniger als 5ml in der Flasche sind, muss diese ausgetauscht werden. Nach welcher Zeit ist dies notwendig?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Brüche
Lineare Gleichungen
Am Anfang musst du die Infusionsflüssigkeit ermitteln, welche maximal aus der Flasche heraustropfen darf.
$40\text{ml}-5\text{ml}=35\text{ml}$
Du musst von den $40$ ml aus der Infusionsflasche $5$ ml abziehen, da diese beim Wechsel der Flasche noch enthalten sein müssen.
$\dfrac{35\text{ml}}{3\text{ml}}=\dfrac{35}{3}$
Jetzt kannst du die ml kürzen.
$\dfrac{35}{3}=11\dfrac{2}{3}$
Den gemischten Bruch in einen unechten Bruch umwandeln.
$\dfrac{2}{3}\cdot60\text{sec}=40\text{sec}$
Hier musst du die $\dfrac{2}{3}$ in Sekunden umwandeln.
$11\text{min}+40\text{sec}=11\text{min}\,40\text{sec}$
Zum Schluss werden nur die Minuten mit den Sekunden zusammengefasst.
Die Infusionsflasche muss spätestens nach $11$ Minuten und $40$ Sekunden ausgewechselt werden.
9
Jonathan und Hannes steigen auf die Zugspitze. Jonathan beginnt seine Wanderung auf Meereshöhe ( $0\;\text{m}$ ), Hannes startet auf dem Zugspitzplatt ( $2500\;\text{m}$ ). Beide steigen mit $500\;\text{m}$ pro $h$ auf. Der Funktionsterm, mit dem Jonathans Aufstieg beschrieben wird, ist $j(x) = 500x$ Entscheide, welcher Funktionsterm zum Aufstieg von Hannes passt!
$h(x) = 500x + 2500$
$h(x)=2500x$
$h(x)=500x-2500$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktion
Aufstieg von Hannes
Um den richtigen Funktionsterm auszuwählen, musst du die Steigung und den $y$ -Achsenabschnitt mit den Werten aus der Angabe vergleichen.
Da Jonathan und Hannes mit derselben Geschwindigkeit aufsteigen, muss der Funktionsterm von Hannes Aufstieg die gleiche Steigung wie der Funktionsterm von Jonathans Aufstieg haben. Jonathans Aufstieg wird mit dem Funktionsterm $j(x)=500x$ beschrieben.
Daraus folgt, dass die Steigung $500$ ist. Der mögliche Term $h(x)=2500x$ für Hannes Aufstieg scheidet dadurch schon mal aus. Die Steigung stimmt nicht!
Jetzt bleiben noch zwei Funktionsterme mit der richtigen Steigung, aber unterschiedlichen $y$ -Achsenabschnitten. Welcher der Terme ist richtig? Vergleiche nun die beiden $y$ -Achsenabschnitte.
Diese sind $+2500$ und $-2500$ . Du kannst schnell erkennen, dass $+2500$ richtig sein muss, da Hannes über Jonathan startet und somit am Anfang ( $x=0$ ) bei $h(0)=2500$ sein muss und nicht bei $h(0)=-2500$ .
Du erhältst also für die Steigung einen Wert von $500$ und für den $y$ -Achsenabschnitt einen Wert von $+2500$ .
Der richtige Funktionsterm für Hannes Aufstieg ist $h(x)=500x+2500$ .
10
Max und Jana machen einen Ausflug in den Wildpark "Tierisches Glück" in Tierhausen. Der Eintritt in den Wildpark kostet dabei $5€$ . Im Wildpark hat man an jedem Gehege zusätzlich die Möglichkeit für $1€$ ein spezielles Tierfutter zu kaufen, um damit die Tiere zu füttern.
(a) Bestimme wie viel Max und Jana für ihren Ausflug insgesamt ausgeben müssen, wenn sie im Wildpark $5$ , $10$ bzw. $20$ Tierfutter kaufen wollen. Erstelle aus diesen Werte eine Wertetabelle.
(b) Erstelle einen Term für die Kosten des Ausflugs in Abhängigkeit der Anzahl der Tierfutter, die Max und Jana kaufen.
(c) Stelle den Zusammenhang aus Teilaufgabe (b) graphisch dar.
(d) Max und Jana haben zu Beginn ihres Ausflugs $14€$ dabei. Lese aus dem Graphen ab, wie viel Tierfutter die beiden damit kaufen können.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
(a) Wenn Max und Jana $5$ Tierfutter kaufen, dann müssen sie neben den $5€$ Eintritt noch fünfmal $1€$ für das Tierfutter bezahlen. Insgesamt bezahlen die beiden also:
Bei $10$ bzw. $20$ Tierfutter, müssen die beiden dagegen
bzw.
bezahlen. Als Wertetabelle ergibt sich:
Anzahl der Tierfutter
5
10
20
Gesamtkosten
10€
15€
25€
(b) Ist $x$ die Anzahl der Tierfutter, die Max und Jana kaufen, dann müssen die beiden zusammen gerechnet $x\cdot1€$ für das Futter bezahlen. Mit dem Eintritt von $5€$ ergibt sich für die Gesamtkosten des Ausflugs:
(c)
(d) Um den gesuchten Wert abzulesen, gehst du waagrecht von $y$ -Achse beim Wert $14€$ los bis du an dem Funktionsgraphen angekommen bist.
Von diesem Punkt auf dem Graphen gehst du anschließend senkrecht nach unten, bis du auf der $x$ -Achse angelangt bist. Du landest in diesem Fall bei dem $x$ -Wert $9$ .
Dieser $x$ -Wert $9$ entspricht dann der gesuchten Anzahl. Max und Jana können also $9$ Tierfutter von den $14€$ kaufen
11
Die NASA ist eine Luft- und Raumfahrt Behörde, die Raketen in das Weltall befördert. Dafür muss zunächst (einmalig) eine Startrampe gebaut werden, die die NASA eine Million US-Dollar kostet. Der Bau einer Rakete selbst kostet dagegen eine halbe Million Dollar.
(a) Berechne wie viel die NASA insgesamt ausgibt, wenn sie $4$ , $6$ bzw. $10$ Raketen ins All schießt. Fertige daraus eine Wertetabelle an.
(b) Stelle einen Term auf, der die Gesamtkosten der NASA in Abhängigkeit der Raketen angibt, die ins All gebracht werden.
(c) Stelle den Zusammenhang aus der Teilaufgabe (b) grafisch dar. Verwende als Skalierungseinheit auf der $y$ -Achse eine Million US-Dollar.
(d) Bestimme wie viele Raketen die NASA mit 10 Millionen US-Dollar ins All schicken kann.

Anzahl der Tierfutter	5	10	20
Gesamtkosten	10€	15€	25€

In einer Höhe von 5000 m über Trübsalhausen ziehen dunkle Wolken auf und es fängt an zu regnen. Die Regentropfen fallen in einer Minute 500 m weit nach unten.

(Bildquelle: https://pixnio.com/de/landschaften/regen/regentropfen-wasser#)

(a) Berechne, welche Höhe die Regentropfen nach einer, zwei bzw. fünf Minuten über dem Boden haben. Fertige daraus eine Wertetabelle an.

(b) Stelle einen Term auf, der die Höhe der Regentropfen (Einheit $\operatorname{km}$ ) in Abhängigkeit der Fallzeit in Minuten angibt. Du kannst dabei vernachlässigen, dass die Tropfen nach der Ankunft am Boden nicht mehr weiter fallen.

(d) Bestimme, nach wie vielen Minuten die Regentropfen am Boden angekommen sind.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktion

(a) Wenn ein Regentropfen in $5000 \m$ Höhe anfängt zu fallen und er in einer Minute $500 \m$ fällt, dann ist er nach einer Minute noch $4500 \m$ über Trübsalhausen.

Berechnen kann man dies auch mit:

$5000\m-1\cdot500\m=4500\m$

Für zwei Minuten ändert sich die Rechnung:

$5000\m-2\cdot500\m=4000\m$

Nach fünf Minuten:

$5000\m-5\cdot500\m=1500\m$

Als Wertetabelle ergibt sich:

Minuten	0	1	2	5
Höhe	$5000\m$	$4500\m$	$4000\m$	$1500\m$

(b) In Aufgabe (a) sieht man sehr gut den Unterschied in den drei Formeln. Sie unterscheiden sich nur durch die Zahl vor den $500 \m$ . Diese Zahl ist die Veränderliche, also $x$ . Dann kann man die Höhe eines Tropfens durch folgenden Term ermitteln.

$5000\m-x\cdot500\m$

Da in der Aufgabenstellung aber die Einheit $\km$ verlangt wird, ist der Term:

$5-x\ \cdot0{,}5$

die Lösung der Aufgabe.

(Hinweis: In der Aufgabenstellung wird hingewiesen, dass man vernachlässigen darf, ob der Tropfen bereits aufgekommen ist. Falls man dies nicht vernachlässigen möchte, muss man $x$ einschränken. $x$ darf nur größer $0$ sein [der Tropfen startet mit $0$ Minuten] und muss kleiner als $10$ sein [bei $10$ Minuten ist der Tropfen aufgekommen].)

(c)

(d) Um zu bestimmen, wann der Regentropfen am Boden ist, musst du im Graphen die Zeit ablesen, die zur Höhe $0$ gehört.

Das sind $10$ Minuten.

Alternativ kannst du auch ein x ermitteln, so dass sich die Höhe $0$ ergibt:

$\displaystyle 5-x\cdot0{,}5$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle \text{Umstellen}$
$\displaystyle 5-0{,}5x$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +0{,}5x$
$\displaystyle 5$	$=$	$\displaystyle 0{,}5x$	$\displaystyle \cdot2$
$\displaystyle 10$	$=$	$\displaystyle x$

Mit beiden Lösungswegen erhält man $10$ Minuten.

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Bitte melde dich an, um diese Funktion zu benutzen.

13
Waldstetten ist bekannt für seine vielen grünen Laubbäume. Wie alle Laubbäume verlieren aber auch diese im Herbst ihre Blätter. Im Sommer hängen an einem Baum noch $12000$ Blätter. Im Herbst, verliert er pro Woche $1000$ Blätter.
(Bildquelle: https://pixnio.com/de/landschaften/herbst/blaetter-im-herbst-gelblich-blaetter-rote-baeume-laub-herbst-herbst-blaetter-baeume)
(a) Stelle einen Term auf, der die Anzahl der Blätter eines Baumes in Abhängigkeit der seit Beginn des Herbstes vergangen Wochen angibt.
(b) Zeichne diesen Zusammenhang in einem Koordinantensystem. Trage auf der $y$ -Achse die Anzahl der Blätter (mit Einheit $1000$ Blätter) und auf der $x$ -Achse die Anzahl der vergangenen Wochen auf.
(c) Berechne wie viele Blätter nach $1,\ 2,\ 3,\ 6$ bzw. $12$ Wochen noch am Baum hängen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktion
(a) Um zu einem Term zu kommen, kann man sich die Berechnung der Blätterzahl in den ersten Wochen ansehen:
1. Woche: $12000-1\cdot1000$
2. Woche: $12000-2\cdot1000$
3. Woche: $12000-3\cdot1000$
Man sieht, das sich nur die Zahl vor der 1000 ändert. Das wird unsere Variable x. Der gesuchte Term ist also:
$12000-x\cdot1000$
(b)
(c) Man könnte die Anzahl der Blätter auch die im Graphen ablesen. Dazu müsste man einfach von der gegebenen Wochenzahl senkrecht nach oben gehen bis man am Graphen ist und dann senkrecht nach links gehen und die Anzahl der Blätter ablesen.
Allerdings steht in der Aufgabe "Berechne". Wir müssen als einen Rechenweg angeben.
Dazu nimmt man den Term und setzt für x die entsprechende Woche ein:
1. Woche: $12000-1\cdot1000=11000$
2. Woche: $12000-2\cdot1000=10000$
3. Woche: $12000-3\cdot1000=9000$
6. Woche: $12000-6\cdot1000=6000$
12. Woche: $12000-12\cdot1000=0$
Nach einer Woche hängen also noch 11000 Blätter, nach 2 Wochen noch 10000 Blätter, nach 3 Wochen noch 9000 Blätter, nach 6 Wochen noch 6000 Blätter. Nach 12 Wochen sollte kein Blatt mehr am Baum hängen.

In einen leeren Whirlpool wird Wasser gefüllt. Pro Minute fließen $40 \;\text{l}$ Wasser in den Pool.

Ergänze die Tabelle:
Zeit (in min)
0
1
2
5
8,2
15
25
Wassermenge (in Litern)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Am Anfang ist der Pool leer. Nach $0$ Minuten befinden sich $0$ Liter Wasser im Pool.
Nach $1$ Minute befinden sich $1\cdot40=40$ Liter Wasser im Pool.
Nach $2$ Minuten sind es dann $2 \cdot40 =80$ Liter.
Nach $5$ Minuten befinden sich $5 \cdot 40=200$ Liter im Pool.
.......
Entsprechend berechnest du auch die anderen Werte in der Tabelle.
Die ausgefüllte Tabelle sieht so aus:
Zeit (in min)
0
1
2
5
8,2
15
25
Wassermenge (in Litern)
0
40
80
200
328
600
1000
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Die Funktion $f$ ist durch die Zuordnungsvorschrift: Zeit $\left(\text{in}\;\text{min}\right)\mapsto$ Wasservolumen $\left(\text{in}\;\text{l}\right)$ gegeben.
Übertrage die Punkte der Funktion $f$ in ein Koordinatensystem und zeichne den Graphen der Funktion $f$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Punkte der Funktion $f$ im Koordinatensystem und Graph der Funktion $f$ :
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Wie lautet die Funktionsgleichung, die die zugeflossene Wassermenge $\left(\text{in}\;\text{l}\right)$ in Abhängigkeit von der Zeit $\left(\text{in}\;\text{min}\right)$ angibt?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
$x$ : Zeit in Minuten
$y$ : Wassermenge in Litern im Whirlpool
Nach $1$ Minute befinden sich $y=1\cdot40=40$ Liter Wasser im Pool.
Nach $2$ Minuten sind es dann $y=2 \cdot40 =80$ Liter.
Nach $10$ Minuten befinden sich $y=10 \cdot 40=400$ Liter im Pool.
..........
Nach $x$ Minuten sind es dann $y=x \cdot40$ Liter $\Rightarrow y= 40 \cdot x$
Antwort: Die Funktionsgleichung, die die zugeflossene Wassermenge $\left(\text{in}\;\text{l}\right)$ in Abhängigkeit von der Zeit $\left(\text{in}\;\text{min}\right)$ angibt, lautet: $y= 40 \cdot x$
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Zeit (in min)	0	1	2	5	8,2	15	25
Wassermenge (in Litern)	0	40	80	200	328	600	1000

In den Whirlpool dürfen maximal $750$ Liter Wasser eingefüllt werden.

Wie muss der Graph aus Aufgabe $b$ an diese neue Information angepasst werden?

Lies ab und berechne, nach welcher Zeit (in Minuten) der Wasserzulauf abgestellt werden muss.

Eine Kerze ist anfangs $18\; \text{cm}$ lang. Wenn sie brennt, wird sie in jeder Stunde um $1{,}5\; \text{cm}$ kürzer.

Wie viele Stunden dauert es, bis die Kerze ganz abgebrannt ist?
Stunden

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Pro Stunde wird die Kerze um $1{,}5\; \text{cm}$ kürzer. Die Brenndauer in Stunden erhältst du, indem du berechnest, wie oft die $1{,}5\; \text{cm}$ in der Gesamtlänge von $18\; \text{cm}$ enthalten sind. $\Rightarrow \dfrac{18}{1{,}5}=12$
Antwort: Nach $12$ Stunden ist die Kerze abgebrannt.
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Zeichne den Graphen der Funktion $f$ :
Brenndauer $x$ $\left(\text{in}\;\text{Stunden}\right)$ $\mapsto$ Länge $y$ $\left(\text{in}\;\text{cm}\right)$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Graph der Funktion $f$
Zum Zeichnen einer linearen Funktion brauchst du zwei Punkte, die auf dem Graphen der Funktion liegen.
Ein Punkt ist in der Aufgabenstellung gegeben. Am Anfang $x=0$ ist die Kerze $18\; \text{cm}$ lang $\Rightarrow P\left(0 \vert 18\right)$ .
Im Aufgabenteil a) hast du die Zeit $x=12$ Stunden berechnet, nach der die Kerze abgebrannt ist, d.h. die Kerzenlänge ist $0\; \text{cm}\Rightarrow Q\left(12 \vert 0\right)$ .
Zeichne die beiden Punkte in ein Koordinatensystem ein und verbinde sie.
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Notiere die Funktionsgleichung.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Funktionsgleichung
Beispiele für die Kerzenlänge $\textcolor{006400}{y}$ nach einer bestimmten Brenndauer $\textcolor{ff6600}{x}$ Stunden.
Am Anfang ist die Kerze $\textcolor{006400}{y}=18\; \text{cm}$ lang.
Brenndauer $\textcolor{ff6600}{1}$ Stunde : Nach $\textcolor{ff6600}{1}$ Stunde hat sie noch eine Länge von:
Brenndauer $\textcolor{ff6600}{2}$ Stunden: Nach $\textcolor{ff6600}{2}$ Stunden hat sie dann eine Länge von:
Brenndauer $\textcolor{ff6600}{x}$ Stunden: Nach $\textcolor{ff6600}{x}$ Stunden hat sie eine Länge von:
In der Normalform geschrieben lautet die Funktionsgleichung: $y=-1{,}5\cdot x+18$
Antwort: Die Funktionsgleichung für die Länge der Kerze in Abhängigkeit von der Zeit lautet:
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Berechne die Länge der Kerze nach $5$ bzw. $8$ Stunden. Überprüfe deine berechneten Werte anhand des Graphen.

Berechne, nach wie viel Stunden die Kerze nur noch $3\; \text{cm}$ lang ist.

Stunden

16
Ein Wasserversorger berechnet $1{,}50\; €$ pro $\text{m}^3$ Wasser (Verbrauchskosten). Zusätzlich muss der Kunde eine monatliche Grundgebühr in Höhe von 6 € bezahlen.
Monatlich ergeben sich die Gesamtkosten aus der Summe der Verbrauchskosten und der Grundgebühr.
1. Ergänze die Tabelle.
  Wasserverbrauch (in m³)
  0
  1
  2
  3
  7,8
  15
  20
  Verbrauchskosten (in €)
  Gesamtkosten (in €)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
  Die Gesamtkosten berechnest du als Summe der Wasserverbrauchskosten pro $\text{m}^3$ und der Grundgebühr. (Auch wenn kein Wasser verbraucht wird, muss die Grundgebühr bezahlt werden.)
  0 $\text{m}^3$ kostet $0\;\cdot 1{,}50 \;\text{€}$ plus Grundgebühr 6 € $\;\Rightarrow$ Gesamtkosten: $y = 0\;\cdot 1{,}50 \;\text{€}+6\;\text{€}=6\;\text{€}$
  1 $\text{m}^3$ kostet $1\;\cdot 1{,}50 \;\text{€}$ plus Grundgebühr 6 € $\;\Rightarrow$ Gesamtkosten: $y = 1\;\cdot 1{,}50 \;\text{€}+6\;\text{€}=7{,}50 \;\text{€}$
  2 $\text{m}^3$ kosten $2\;\cdot 1{,}50 \;\text{€}$ plus Grundgebühr 6 € $\;\Rightarrow$ Gesamtkosten: $y = 2\;\cdot 1{,}50 \;\text{€}+6\;\text{€}=9 \;\text{€}$
  Entsprechend berechnest du die anderen Werte in der Tabelle.
  Die vollständige Tabelle sieht folgendermaßen aus:
  Wasserverbrauch (in m³)
  0
  1
  2
  3
  7,8
  15
  20
  Verbrauchskosten (in €)
  0
  1,50
  3,00
  4,50
  11,70
  22,50
  30,00
  Gesamtkosten (in €)
  6,00
  7,50
  9,00
  10,50
  17,70
  28,50
  36,00
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2. Zeichne den Graphen der Funktion $f$ :
  Wasserverbrauch $x$ (in $m^3$ ) $\;\mapsto$ Gesamtkosten $y$ (in €)
  Bestimme auch die Funktionsgleichung.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
  Graph der Funktion $f$
  Der Tabelle kannst du die Koordinaten von $2$ Punkten entnehmen, z.B. $P(0\vert 6)$ und $Q(20|36)$ .
  Zeichne die beiden Punkte in ein Koordinatensystem ein und verbinde sie mit einer Halbgeraden, die im Punkt $P$ beginnt.
  Anmerkung: Es gibt keinen negativen Wasserverbrauch. Deshalb beginnt der Graph der Funktion $f$ im Punkt $P$ .
  Bestimmung der Funktionsgleichung:
  1 $\text{m}^3$ Wasser kostet $1\;\cdot 1{,}50 \;\text{€}$ plus Grundgebühr 6 € $\;\Rightarrow$ Gesamtkosten: $y = 1\;\cdot 1{,}50 \;\text{€}+6\;\text{€}$
  2 $\text{m}^3$ kosten $2\;\cdot 1{,}50 \;\text{€}$ plus Grundgebühr 6 € $\;\Rightarrow$ Gesamtkosten: $y = 2\;\cdot 1{,}50 \;\text{€}+6\;\text{€}$
  ........
  $x$ $\text{m}^3$ kosten $x\;\cdot 1{,}50 \;\text{€}$ plus Grundgebühr 6 € $\;\Rightarrow$ Gesamtkosten: $y = x\;\cdot 1{,}50 \;\text{€}+6\;\text{€}$
  Diese Überlegungen führen dich zur Funktionsgleichung: $y=1{,}5\cdot x +6$
  Antwort: Die Funktionsgleichung lautet: $y=1{,}5\cdot x +6$
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17
Ziehe die richtige Gleichung in das Ablagefeld.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Florian kauft $x$ Liter Saft. Jeder Liter kostet $2{,}50\;€$ . Insgesamt zahlt er $y\; €$ .
Zugehörende lineare Funktionsgleichung: $y=2{,}5x$
Ein Taxiunternehmen berechnet $2{,}50\; €$ für die Anfahrt und $2\; €$ für jeden gefahrenen Kilometer. Für $x$ gefahrene km zahlt man $y\; €$ .
Zugehörende lineare Funktionsgleichung: $y=2x+2{,}5$
Jana bekommt jede Woche $2\;€$ Taschengeld. In den nächsten Jahren erhöht sich das wöchentliche Tagesgeld um $3\; €$ . Nach $x$ Jahren erhält Jana $y\;€$ Taschengeld pro Woche.
Zugehörende lineare Funktionsgleichung: $y=3x+2$
Eine Kerze ist $8\;\text{cm}$ hoch. Jede Stunde verringert sich die Höhe um $2\;\text{cm}$ . Nach $x$ Stunden ist sie $y\;\text{cm}$ hoch.
Zugehörende lineare Funktionsgleichung: $y=-2x+8$

Wasserverbrauch (in m³)	0	1	2	3	7,8	15	20
Verbrauchskosten (in €)	0	1,50	3,00	4,50	11,70	22,50	30,00
Gesamtkosten (in €)	6,00	7,50	9,00	10,50	17,70	28,50	36,00

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle m_t$	$=$	$\displaystyle \frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$
	↓	Setz die Werte ein.
$\displaystyle m_t$	$=$	$\displaystyle \frac{68-32}{20-0}=1{,}8$

$\displaystyle x\cdot25+y\cdot150$	$=$	$\displaystyle 1200$	$\displaystyle -x\cdot25$
	↓	Stelle die Gleichung so um, dass du eine Geradengleichung erhältst.
$\displaystyle 150\cdot y$	$=$	$\displaystyle -25\cdot x+1200$	$\displaystyle :150$
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle -\frac{25}{150}\cdot x+\frac{1200}{150}$
	↓	Kürze die Brüche.
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle -\frac16\cdot x+8$

$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle 40\cdot x$
	↓	$y=750$
$\displaystyle 750$	$=$	$\displaystyle 40 \cdot x$	$\displaystyle :40$
	↓	nach $x$ auflösen
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \dfrac{750}{40}$
	$=$	$\displaystyle 18{,}75$

$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle 18-1{,}5\cdot x$
	↓	$x=5$ einsetzen
	$=$	$\displaystyle 18-1{,}5\cdot5$
	$=$	$\displaystyle 18-7{,}5$
	$=$	$\displaystyle 10{,}5$

$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle 18-1{,}5\cdot x$
	↓	$x=8$ einsetzen
	$=$	$\displaystyle 18-1{,}5\cdot8$
	$=$	$\displaystyle 18-12$
	$=$	$\displaystyle 6$

$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle 18-1{,}5\cdot x$
	↓	$y=3$ einsetzen
$\displaystyle 3$	$=$	$\displaystyle 18-1{,}5\cdot x$	$\displaystyle +1{,}5 \cdot x$
	↓	Terme mit $x$ auf die linke Gleichungsseite
$\displaystyle 3+1{,}5 \cdot x$	$=$	$\displaystyle 18$	$\displaystyle -3$
	↓	alle Zahlen auf die rechte Gleichungsseite
$\displaystyle 1{,}5 \cdot x$	$=$	$\displaystyle 15$	$\displaystyle :1{,}5$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \dfrac{15}{1{,}5}$
	$=$	$\displaystyle 10$

Sachaufgaben zu linearen Funktionen

Ergänzung

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Nach wie vielen Kilometern ist der Tank leer?

Nach wie vielen Kilometern muss der Fahrer tanken?

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Monatsrechnung bei 40 Minuten

Monatsrechnung bei 80 Minuten

Monatsrechnung bei 120 Minuten

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Teilaufgabe 1

Darstellung im Diagramm

Teilaufgabe 2

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Lineare Gleichungen

Aufstieg von Hannes

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Anpassung des Funktionsgraphen

Berechnung der Zulaufszeit bis zum maximalen Volumen

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Graph der Funktion fff

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Funktionsgleichung

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Setze x=5x=5x=5 in die Funktionsgleichung ein.

Setze x=8x=8x=8 in die Funktionsgleichung ein.

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Setze in die Funktionsgleichung für yyy den Wert 333 ein und löse nach xxx auf.

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Graph der Funktion fff

Bestimmung der Funktionsgleichung:

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Graph der Funktion $f$

Setze $x=5$ in die Funktionsgleichung ein.

Setze $x=8$ in die Funktionsgleichung ein.

Setze in die Funktionsgleichung für $y$ den Wert $3$ ein und löse nach $x$ auf.

Graph der Funktion $f$