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Teil 2 Analysis I

🎓 PrĂŒfungsbereich fĂŒr Bayern

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  1. 1

    FĂŒr eine ganzrationale Funktion ff dritten Grades mit der Definitionsmenge Df=RD_{f}=\mathbb{R} gelten folgende Gleichungen: I. f(0)=0\quad f(0)=0 II. fâ€Č(0)=0f^{\prime}(0)=0 III. f(−3)=−3f(-3)=-3 IV. fâ€Č(−3)=−1f^{\prime}(-3)=-1

    Der zugehörige Graph in einem kartesischen Koordinatensystem wird mit GfG_{f} bezeichnet.

    1. Beschreiben Sie in Worten, welche Eigenschaften der Graph von f aufgrund obiger Gleichungen hat. (2 BE)

    2. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von f\mathrm{f}.

      [Mögliches Ergebnis: f(x)=−13x3−43x2f(x)=-\frac{1}{3} x^{3}-\frac{4}{3} x^{2} ] (5 BE)

    3. Im Folgenden wird die Funktion gg mit g(x)=f(x)g(x)=f(x) und der im Vergleich zu DfD_{f} eingeschrĂ€nkten Definitionsmenge Dg=[−4,5;1]D_{g}=[-4{,}5 ; 1] betrachtet. Ihr Graph in einem kartesischen Koordinatensystem wird mit Gg\mathrm{G}_{\mathrm{g}} bezeichnet.

      Ermitteln Sie die Wertemenge Wg\mathrm{W}_{\mathrm{g}} der Funktion g. Bestimmen Sie dazu die Koordinaten sÀmtlicher Extrempunkte. (8 BE)

    4. Bestimmen Sie die Koordinaten des Wendepunktes des Graphen der Funktion g. (3 BE)

    5. Zeichnen Sie unter Verwendung aller bisherigen Ergebnisse den Graphen Gg\mathrm{G}_{\mathrm{g}} in ein geeignetes kartesisches Koordinatensystem. Ermitteln Sie dazu die Nullstellen der Funktion g. Maßstab fĂŒr beide Achsen: 1LE=1 cm1 \mathrm{LE}=1 \mathrm{~cm} (5 BE)

    6. Der Graph der Funktion gg und die x-Achse schließen im III. Quadranten des Koordinatensystems ein endliches FlĂ€chenstĂŒck ein. Berechnen Sie die Maßzahl des FlĂ€cheninhalts dieses FlĂ€chenstĂŒcks. (3 BE)

  2. 2

    Der Verlauf der Anzahl der Neuerkrankungen fĂŒr eine bestimmte Grippewelle in einer gewissen Region in AbhĂ€ngigkeit von der Zeit kann vereinfacht durch die Funktion N\mathrm{N} mit der Funktionsgleichung N(t)=2t2⋅e−0,5t\mathrm{N}(\mathrm{t})=2 \mathrm{t}^{2} \cdot \mathrm{e}^{-0{,}5 \mathrm{t}} mit t∈R0+\mathrm{t} \in \mathbb{R}_{0}^{+}beschrieben werden.

    Dabei bedeutet die Variable tt die Zeit in Wochen ab Beginn der Grippewelle zum Zeitpunkt t0=0t_{0}=0. Der Funktionswert N(t)N(t) gibt die Anzahl der an Grippe neu erkrankten Menschen in Tausend an.

    Auf das MitfĂŒhren von Einheiten wĂ€hrend der Rechnungen kann verzichtet werden. Runden Sie Ihre Ergebnisse sinnvoll.

    1. Berechnen Sie, zu welchem Zeitpunkt tmax⁥t_{\max } die Zahl der neu erkrankten Menschen ihr Maximum annimmt und berechnen Sie diese maximale Anzahl.

      [Teilergebnis: N˙(t)=(4t−t2)⋅e−0,5t\dot{\mathrm{N}}(\mathrm{t})=\left(4 \mathrm{t}-\mathrm{t}^{2}\right) \cdot \mathrm{e}^{-0{,}5 \mathrm{t}} ] (7 BE)

    2. Ermitteln Sie das Verhalten der Funktionswerte N(t)N(t) fĂŒr t→∞t \rightarrow \infty und interpretieren Sie das Ergebnis im Sinne der vorliegenden Thematik. (2 BE)

    3. Zeichnen Sie unter Verwendung aller bisheriger Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte den Graphen der Funktion NN im Bereich 0≀t≀100 \leq t \leq 10 in ein geeignetes beschriftetes Koordinatensystem. Maßstab fĂŒr beide Achsen: 1LE=1 cm1 \mathrm{LE}=1 \mathrm{~cm} (3 BE)

    4. Gegeben ist die Funktion G:t↩(−4t2−16t−32)⋅e−0,5t\mathrm{G}: \mathrm{t} \mapsto\left(-4 \mathrm{t}^{2}-16 \mathrm{t}-32\right) \cdot \mathrm{e}^{-0{,}5 \mathrm{t}} mit der Definitionsmenge DG=R0+D_{G}=\R_{0}^{+}. Zeigen Sie, dass die Funktion GG eine mögliche Stammfunktion von NN ist. Berechnen Sie damit die durchschnittliche Anzahl an neu erkrankten Menschen wĂ€hrend der ersten acht Wochen ab Beginn der Grippewelle. (5 BE)


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