Teil 2 Analysis I

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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Für eine ganzrationale Funktion $f$ dritten Grades mit der Definitionsmenge $D_{f}=\mathbb{R}$ gelten folgende Gleichungen: I. $\quad f(0)=0$ II. $f^{\prime}(0)=0$ III. $f(-3)=-3$ IV. $f^{\prime}(-3)=-1$
Der zugehörige Graph in einem kartesischen Koordinatensystem wird mit $G_{f}$ bezeichnet.
1. Beschreiben Sie in Worten, welche Eigenschaften der Graph von f aufgrund obiger Gleichungen hat. (2 BE)
2. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von $\mathrm{f}$ .
  [Mögliches Ergebnis: $f(x)=-\frac{1}{3} x^{3}-\frac{4}{3} x^{2}$ ] (5 BE)
3. Im Folgenden wird die Funktion $g$ mit $g(x)=f(x)$ und der im Vergleich zu $D_{f}$ eingeschränkten Definitionsmenge $D_{g}=[-4{,}5 ; 1]$ betrachtet. Ihr Graph in einem kartesischen Koordinatensystem wird mit $\mathrm{G}_{\mathrm{g}}$ bezeichnet.
  Ermitteln Sie die Wertemenge $\mathrm{W}_{\mathrm{g}}$ der Funktion g. Bestimmen Sie dazu die Koordinaten sämtlicher Extrempunkte. (8 BE)
4. Bestimmen Sie die Koordinaten des Wendepunktes des Graphen der Funktion g. (3 BE)
5. Zeichnen Sie unter Verwendung aller bisherigen Ergebnisse den Graphen $\mathrm{G}_{\mathrm{g}}$ in ein geeignetes kartesisches Koordinatensystem. Ermitteln Sie dazu die Nullstellen der Funktion g. Maßstab für beide Achsen: $1 \mathrm{LE}=1 \mathrm{~cm}$ (5 BE)
6. Der Graph der Funktion $g$ und die x-Achse schließen im III. Quadranten des Koordinatensystems ein endliches Flächenstück ein. Berechnen Sie die Maßzahl des Flächeninhalts dieses Flächenstücks. (3 BE)
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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Der Verlauf der Anzahl der Neuerkrankungen für eine bestimmte Grippewelle in einer gewissen Region in Abhängigkeit von der Zeit kann vereinfacht durch die Funktion $\mathrm{N}$ mit der Funktionsgleichung $\mathrm{N}(\mathrm{t})=2 \mathrm{t}^{2} \cdot \mathrm{e}^{-0{,}5 \mathrm{t}}$ mit $\mathrm{t} \in \mathbb{R}_{0}^{+}$ beschrieben werden.
Dabei bedeutet die Variable $t$ die Zeit in Wochen ab Beginn der Grippewelle zum Zeitpunkt $t_{0}=0$ . Der Funktionswert $N(t)$ gibt die Anzahl der an Grippe neu erkrankten Menschen in Tausend an.
Auf das Mitführen von Einheiten während der Rechnungen kann verzichtet werden. Runden Sie Ihre Ergebnisse sinnvoll.
1. Berechnen Sie, zu welchem Zeitpunkt $t_{\max }$ die Zahl der neu erkrankten Menschen ihr Maximum annimmt und berechnen Sie diese maximale Anzahl.
  [Teilergebnis: $\dot{\mathrm{N}}(\mathrm{t})=\left(4 \mathrm{t}-\mathrm{t}^{2}\right) \cdot \mathrm{e}^{-0{,}5 \mathrm{t}}$ ] (7 BE)
2. Ermitteln Sie das Verhalten der Funktionswerte $N(t)$ für $t \rightarrow \infty$ und interpretieren Sie das Ergebnis im Sinne der vorliegenden Thematik. (2 BE)
3. Zeichnen Sie unter Verwendung aller bisheriger Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte den Graphen der Funktion $N$ im Bereich $0 \leq t \leq 10$ in ein geeignetes beschriftetes Koordinatensystem. Maßstab für beide Achsen: $1 \mathrm{LE}=1 \mathrm{~cm}$ (3 BE)
4. Gegeben ist die Funktion $\mathrm{G}: \mathrm{t} \mapsto\left(-4 \mathrm{t}^{2}-16 \mathrm{t}-32\right) \cdot \mathrm{e}^{-0{,}5 \mathrm{t}}$ mit der Definitionsmenge $D_{G}=\R_{0}^{+}$ . Zeigen Sie, dass die Funktion $G$ eine mögliche Stammfunktion von $N$ ist. Berechnen Sie damit die durchschnittliche Anzahl an neu erkrankten Menschen während der ersten acht Wochen ab Beginn der Grippewelle. (5 BE)

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