Teil 2 Analysis II - lernen mit Serlo!

Gegeben ist die Funktion $g: x \rightarrow2-5e^{-0{,}1x^2}$ mit der Definitionsmenge $D_g= \mathbb{R}$ . Der Graph von g in einem kartesischen Koordinatensystem wird mit $G_g$ bezeichnet.

Untersuchen Sie das Symmetrieverhalten des Graphen $G_g$ bezüglich des Koordinatensystems sowie das Verhalten der Funktionswerte von g für $|x|→ \infty$ . Geben Sie die Gleichung der Asymptote des Graphen $G_g$ an.

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Man vergleicht $f\left(x\right)$ mit $f(-x)$ und $x\in\mathbb{R}$
$f(x)=2-5\cdot e^{-\frac{x^2}{10}}$
$f(-x)=2-5\cdot e^{\frac{(-x)^2}{10}}=2-5\cdot e^{\frac{x^2}{10}}=f(x)$
Der Graph $G_g$ ist achsensymmetrisch.
Es gilt: $\displaystyle\lim_{x\to\infty} e^{-x}=0\Rightarrow \displaystyle\lim_{|x|\to\infty}[2-5\cdot e^{-\frac{x^2}{10}}]=2$
Die Asymptotengleichung lautet: $a(x)=2$
Berechnen Sie die Nullstellen von g. Runden Sie auf zwei Nachkommastellen.

$g(x)=0 \Rightarrow$
$2-5\cdot e^{-\frac{x^2}{10}}=0\iff 2=5\cdot e^{-\frac{x^2}{10}}\iff \frac{2}{5}=e^{-\frac{x^2}{10}}\iff ln\frac{2}{5}=-\frac{x^2}{10}$
$10\cdot ln\frac{2}{5}=-x^2\iff x_1=-\sqrt{-10\cdot ln\frac{2}{5}}$ und $x_2=\sqrt{-10\cdot ln\frac{2}{5}}$
$x_1=-3{,}03$ und $x_2=3{,}03$
Man beachte, dass $ln{\frac{2}{5}}<0,$ weil $\frac{2}{5}<1$
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Ermitteln Sie Art und Koordinaten des relativen Extrempunktes von $G_g$ . Begründen Sie, warum dieser absolut ist und geben Sie die Wertemenge $W_g$ der Funktion g an.
[Teilergebnis: $g'(x)=x\cdot e^{-0{,}1x^2}$ ]
Stellen Sie die Gleichung der Tangente an $G_g$ an der Stelle $x=3$ in allgemeiner Form auf.

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Der Berührpunkt $B$ hat die Koordinaten $B\left(3\left|\left(f\left(3\right)\right)\right|\right)$ mit $f(3)=2-5\cdot e^{-\frac{9}{10}}$ .
Es ist $f'(x)=5\cdot \frac{1}{10}\cdot 2 \cdot x\cdot e^{-\frac{x^2}{10}}=x e^{-\frac{x^2}{10}}$
Die Tangente $t$ an den Graph $G_f$ im Berührpunkt $B$ hat die Steigung
Die allgemeine Form einer Geraden ist $y=m\cdot x+b$
Somit gilt für die Tangente $t: y=3e^{-\frac{9}{10}}\cdot x+b$
Da der Punkt $B$ auf der Tangente liegt, folgt
$2-5\cdot e^{-\frac{9}{10}}= 3\cdot e^{-\frac{9}{10}}\cdot 3+b\Rightarrow b=2-14\cdot e^{-\frac{9}{10}}$
Also ist die Tangentengleichung $t:y=3e^{-\frac{9}{10}}\cdot x+(2-14\cdot e^{-\frac{9}{10}})$
In Dezimalzahlen ist das etwa $t:y=1{,}22\cdot x-3{,}69$ .
Art und Koordinaten des relativen Extrempunktes von $G_g$ können auch ohne Verwendung der Ableitungsfunktion bestimmt werden. Begründen Sie dies mithilfe bekannter Ergebnisse. Verwenden Sie dabei die Tatsache, dass nur höchstens ein Extrempunkt von $G_g$ existiert.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Monotonie
Die Funktion $g$ ist gerade.
Die Zuordnung $x\mapsto -0{,}1x^2$ ist für positive $x$ streng monoton fallend. Wegen der strengen Monotonie der Exponentialfunktion gilt dies auch für $x\mapsto 5e^{-0{,}1x^2}$ und damit ist $g$ für positive $x$ streng monoton steigend und für negative $x$ streng monoton fallend.
Daher wissen wir, dass $g$ für $x=0$ ein Minimum haben muss und erhalten als Koordinaten des Tiefpunkts $T(0|g(0))=(0|-3)$ .
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Zeichnen Sie unter Verwendung aller bisheriger Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte den Graphen der Funktion g im Bereich $-7 \leq x \leq7$ in ein kartesisches Koordinatensystem.
Maßstab für beide Achsen: 1 LE = 1 cm

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