Teil 2 Stochastik II - lernen mit Serlo!

Eine Gärtnerin möchte den Bienen in ihrer Umgebung etwas Gutes tun und kauft einen Sack Saatgut für eine Blumenwiese. Der Großhändler behauptet, dass die Blumensamen zu 90 % keimen. Jedoch vermutet die Gärtnerin, dass es weniger sind (Gegenhypothese). Ist dies der Fall, so will sie ihr Saatgut in Zukunft von einem anderen Großhändler beziehen. Um ihre Vermutung zu überprüfen, sät sie 100 zufällig ausgewählte Samenkörner aus und beobachtet deren Keimverhalten. Sie will sich bei der Annahme ihrer Vermutung um höchstens 4 % irren.

Entwickeln Sie einen geeigneten Hypothesentest für die Gärtnerin und geben Sie an, welche Entscheidung der Test nahelegt, wenn 87 Blumensamen keimen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Hypothesentest

Angaben aus der Aufgabenstellung auslesen

Zuerst überträgt man die Informationen aus der Angabe aus dem gegebenen Sachzusammenhang in ein Bernoulli-Experiment:

Zugrunde liegendes Bernoulli-Experiment:	Aussähen von Blumensamen
"Treffer":	Blumensamen keimt
Hypothesen im Sachzusammenhang:	Nullhypothese: "Der Anteil der gekeimten Blumensamen beträgt mindestens $90 %$ ." Gegenhypothese: "Der Anteil der gekeimten Blumensamen beträgt weniger als $90 %$ ."
Hypothesen im Bezug auf die Wahrscheinlichkeit (p):	Nullhypothese: "Die Trefferwahrscheinlichkeit p beträgt mindestens $90 %$ ." Gegenhypothese: "Die Trefferwahrscheinlichkeit p ist kleiner als $90 %$ ."
Fehler 1. Art:	Der Anteil der keimenden Blumensamen beträgt durchschnittlich mindestens $90 %$ , es wird aber fälschlicherweise davon ausgegangen, das er niedriger ist.

Danach überträgt man die gegebenen Werte:

Nullhypothese	$H_0: \ \ p \, \ge \, 90 \%$
Gegenhypothese	$H_1: \ \ p \, < \, 90 \%$
Stichprobenlänge:	$100$
Testgröße:	Anzahl der gekeimten Blumensamen
Signifikanzniveau:	$4 %$

Bestimmung des Annahme- und Ablehnungsbereichs

Wir gehen für die Bestimmung des Annahme- und Ablehnungsbereichs davon aus, dass die Wahrscheinlichkeit $p$ den Wert $0,9$ hat (und nicht höher ist), um die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. Art möglichst gering zu halten. Würde man einen höheren Wert für $p$ wählen, würde das den Annahmebereich verkleinern (und den Ablehnungsbereich vergrößern) und somit die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art erhöhen.

Der kritische Wert $k$ ist der Wert, bis zu dem die Zufallsgröße im Ablehnungsbereich liegt.

Da die Nullhypothese von einer höheren Trefferwahrscheinlichkeit ausgeht als die Gegenhypothese, muss der Annahmebereich von $k + 1$ bis $100$ gehen und der Ablehnungsbereich von $0$ bis $k$ .

Der Annahme- bzw. Ablehnungsbereich bestimmt die Größe der Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. bzw. 2. Art.

Das Signifikanzniveau, das heißt die Obergrenze für die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. Art, beträgt $4 %$ . Dabei soll aber auch der Fehler 2. Art möglichst gering sein, das heißt man muss die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. Art so groß wie möglich, aber trotzdem unter dem Signifikanzniveau ansetzen.

Um den Annahme- bzw. Ablehnungsbereich zu bestimmen, muss die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße kleiner ist als $k + 1$ , höchstens so groß wie das Signifikanzniveau sein.

$\displaystyle P(X<(k+1))$	$\leq ≤$	$\displaystyle 0{,}04$
	↓	Wahrscheinlichkeit zu einer "höchstens so groß wie" Aussage umformulieren
$\displaystyle P(X \leq k)$	$\leq ≤$	$\displaystyle 0{,}04$
$\displaystyle \sum_{x=0}^k {100 \choose x} \cdot 0{,}9^x \cdot 0{,}1^{100-x}$	$\leq ≤$	$\displaystyle 0{,}04$

Jetzt kann man entweder das Tafelwerk oder den Taschenrechner verwenden, um den Wert für $k$ herauszufinden. Dabei muss man darauf achten, dass es sich hier um eine kumulative Verteilung handelt.

$k = 84$ , dementsprechend sehen der Annahme- und der Ablehnungsbereich wie folgt aus:

Annahmebereich:	$\overline {A} = \{ 85, 86, 87, ...,98, 99, 100 \}$
Ablehnungsbereich:	$A = \{0, 1, 2, 3, ..., 82, 83, 84\}$

Im Falle dass $87$ Blumensamen keimen, würde der Test nahelegen, die Nullhypothese, die besagt dass die Behauptung des Großhändlers stimmt, anzunehmen.

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Berechnen Sie für den in Aufgabe 3.a) entwickelten Test die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 2. Art, wenn man davon ausgeht, dass der Anteil der keimenden Samen bei 85 % liegt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fehler erster Art und Fehler zweiter Art
Um die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 2. Art zu bestimmen, muss man die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass die Anzahl der Treffer im Annahmebereich liegt, wenn die Trefferwahrscheinlichkeit nur $85 %$ beträgt:
$\displaystyle P(X > k) = \sum_{x=k+1}^{100} {100 \choose x} \cdot 0{,}85^x \cdot 0{,}15^{100-x} \approx 0{,}5683$
Die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 2. Art beträgt in diesem Fall also ca. $56{,}83 \%$ .
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Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?