Teil 2 Stochastik II

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

Im Folgenden werden relative Häufigkeiten als Wahrscheinlichkeiten interpretiert.

1
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Ein Großhändler für Saatgut verkauft Säcke verschiedener Sorten von Samenkörnern. Erfahrungsgemäß handelt es sich bei 15 % der verkauften Säcke um Saatgut für Viehweide (V). Säcke mit Samen für Sommerroggen (S) werden viermal so oft verlangt wie die mit Weißklee (W). Weißklee und Grasmischung (G) machen die Hälfte der verkauften Säcke aus. Nur 3 % sind Säcke mit Samen für Blumenwiese (B). Die Preise pro Sack können nachfolgender Preisliste entnommen werden.
1. Die Zufallsgröße X gibt den Preis pro verkauftem Sack in Euro an. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X.
  [Teilergebnis: P(W) = 0,08]
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wahrscheinlichkeitsverteilung, Erwartungswert
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  Man übernimmt die angegebenen Daten in eine Tabelle. Da die Summe aller Wahrscheinlichkeiten gleich 1 ist, können wir die unbekannte Wahrscheinlichkeit $p$ für den Anteil an verkauftem Weißklee berechnen. Die Wahrscheinlichkeit für Sommerroggen ist dann $4p$ , die für Grasklee $0{,}5-p$ .
  Die Wahrscheinlichkeit für Viehweide ist $0{,}15$ , die für Blumenwiese $0{,}03$ .
  Wir zählen die Wahrscheinlichkeiten der Reihe nach zusammen:
  $0{,}15+4p+p+(0{,}5-p)+0{,}03=1$
  $\iff 4p=0{,}32 \iff p=0{,}08$
  Damit liegt der Anteil $p$ von Weißklee bei $0{,}8=8\%$ .
2. Berechnen Sie – unter Verwendung von Aufgabe a) – den durchschnittlich zu erwartenden monatlichen Gewinn durch den Verkauf des Saatguts, wenn bekannt ist, dass der Großhändler pro Monat 120 Säcke Saatgut verkauft und ihm 30 % vom Verkaufspreis als Gewinn bleiben.
  
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  Damit haben wir mit $p=0{,}08$ diese Tabelle:
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c||c|c|c|c|c} &V&S&W&G&B&\\\hline x&32&26&30&28{,}50&20\\\hline P(X=x)&0{,}15&0{,}32&0{,}08&0{,}42&0{,}03 \end{array}$
  Zunächst berechnet man den Erwartungswert der Einnahmen bei Verkauf von einem Sack.
  $E(X)=32\cdot0{,}15+26\cdot 0{,}32+30\cdot 0{,}08+28{,}50 \cdot 0{,}42+20\cdot 0{,}03$
  $E(X)=28{,}09$
  Wenn der Großhändler $120$ Säcke verkauft, so hat er einen Umsatz von $120\cdot 28{,}09=3370{,}08$
  Sein Gewinn beträgt $30$ % vom Umsatz:
  Also ist der Gewinn $1011{,}24$ Euro.
2
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgrund von Kundenanfragen und da der Großhändler ein günstiges Angebot für Rotklee erhalten hat, will er in Zukunft eine Kleemischung aus Weißklee (W) und Rotklee (R) anbieten. Laut dem Samenproduzenten liegt die Wahrscheinlichkeit, dass ein Samenkorn vom Weißklee keimt, bei 92,5 %. Die Keimwahrscheinlichkeit der Rotkleesamen liegt bei 80 %.
1. Ermitteln Sie mithilfe eines Baumdiagramms, in welchem Verhältnis der Großhändler Weiß- und Rotkleesamen mischen muss, damit die Keimwahrscheinlichkeit P(K) der Mischung bei 85 %liegt.
  
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  Man zeichnet ein Baumdiagramm mit zwei Stufen.
  In der ersten Stufe unterscheidet man die Ereignisse Rotklee $\left(R\right)$ und Weißklee $\left(W\right)$ .
  Die Wahrscheinlichkeiten sind $P\left(R\right)=p$ und $P\left(W\right)=1-p$ .
  In der zweiten Stufe wird zwischen "keimen" $K$ und "nicht keimen" $\overline{K}$ unterschieden.
  Es gilt: $P(K|R)=0{,}8$ und $P(K|W)=0{,}925$ .
  Da die Keimwahrscheinlichkeit der Mischung bei $85$ % liegen soll, gilt:
  $P(K)=P(R\cap K)+P(W\cap K)\iff 0{,}85=p\cdot0{,}8+(1-p)\cdot 0{,}925$
  $p\cdot 0{,}8+0{,}925-p\cdot 0{,}925=0{,}85\iff0{,}075=p\cdot0{,}125$
  $p=0{,}6$
  Der Großhändler muss $60\%$ Rotklee mit $40\%$ Weißklee mischen, damit die Mischung eine Keimwahrscheinlichkeit von $85\%$ hat.
2. Ein Landwirt kauft einen Sack der neuen Kleemischung, welche zu 85 % keimt, und sät 200 Samenkörner auf einem kleinen frischgepflügten Teil einer seiner Wiesen aus. Die Zufallsgröße Y gibt die Anzahl der keimenden Samen an. Berechnen Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Anzahl der keimenden Samen innerhalb der einfachen Standardabweichung um den Erwartungswert liegt.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Erwartungswert,
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  Die Ereignisse, ob ein einzelnes Samenkorn keimt, sind unabhängig voneinander, es handelt sich also um ein Bernoulli-Experiment mit $n=200$ und $p=0{,}85$ .
  Daraus errechnen wir den Erwartungswert $E(Y)=n\cdot p=200\cdot 0{,}85=170$ .
  Die Standardabweichung bei Bernoulli-Experimenten berechnet sich als $\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot(1-p)}$ .
  Mit unseren Werte erhalten wir
  $\sigma=\sqrt{200\cdot 0{,}85\cdot0{,}15}=\sqrt{25{,}5}\approx 5{,}05$ .
  Innerhalb der einfachen Standardabweichung liegen also die Keimzahlen von $165$ bis $175$ .
  Aus dem Tabellenwerk lesen wir diese Wahlscheinlichkeiten ab:
  $P^{200}_{0{,}85}(k\le175)=0{,}86318$ und $P^{200}_{0{,}85}(k\le 164)=0{,}13873$ .
  Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist
  $P^{200}_{0{,}85}(165\le k\le175) =0{,86318}-0{,}13873=0{,}72445$ .

Eine Gärtnerin möchte den Bienen in ihrer Umgebung etwas Gutes tun und kauft einen Sack Saatgut für eine Blumenwiese. Der Großhändler behauptet, dass die Blumensamen zu 90 % keimen. Jedoch vermutet die Gärtnerin, dass es weniger sind (Gegenhypothese). Ist dies der Fall, so will sie ihr Saatgut in Zukunft von einem anderen Großhändler beziehen. Um ihre Vermutung zu überprüfen, sät sie 100 zufällig ausgewählte Samenkörner aus und beobachtet deren Keimverhalten. Sie will sich bei der Annahme ihrer Vermutung um höchstens 4 % irren.

Entwickeln Sie einen geeigneten Hypothesentest für die Gärtnerin und geben Sie an, welche Entscheidung der Test nahelegt, wenn 87 Blumensamen keimen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Hypothesentest

Angaben aus der Aufgabenstellung auslesen

Zuerst überträgt man die Informationen aus der Angabe aus dem gegebenen Sachzusammenhang in ein Bernoulli-Experiment:

Zugrunde liegendes Bernoulli-Experiment:	Aussähen von Blumensamen
"Treffer":	Blumensamen keimt
Hypothesen im Sachzusammenhang:	Nullhypothese: "Der Anteil der gekeimten Blumensamen beträgt mindestens $90 \%$ ." Gegenhypothese: "Der Anteil der gekeimten Blumensamen beträgt weniger als $90 \%$ ."
Hypothesen im Bezug auf die Wahrscheinlichkeit (p):	Nullhypothese: "Die Trefferwahrscheinlichkeit p beträgt mindestens $90 \%$ ." Gegenhypothese: "Die Trefferwahrscheinlichkeit p ist kleiner als $90 \%$ ."
Fehler 1. Art:	Der Anteil der keimenden Blumensamen beträgt durchschnittlich mindestens $90 \%$ , es wird aber fälschlicherweise davon ausgegangen, das er niedriger ist.

Danach überträgt man die gegebenen Werte:

Nullhypothese	$H_0: \ \ p \, \ge \, 90 \%$
Gegenhypothese	$H_1: \ \ p \, < \, 90 \%$
Stichprobenlänge:	$100$
Testgröße:	Anzahl der gekeimten Blumensamen
Signifikanzniveau:	$4 \%$

Bestimmung des Annahme- und Ablehnungsbereichs

Wir gehen für die Bestimmung des Annahme- und Ablehnungsbereichs davon aus, dass die Wahrscheinlichkeit $p$ den Wert $0{,}9$ hat (und nicht höher ist), um die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. Art möglichst gering zu halten. Würde man einen höheren Wert für $p$ wählen, würde das den Annahmebereich verkleinern (und den Ablehnungsbereich vergrößern) und somit die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art erhöhen.

Der kritische Wert $k$ ist der Wert, bis zu dem die Zufallsgröße im Ablehnungsbereich liegt.

Da die Nullhypothese von einer höheren Trefferwahrscheinlichkeit ausgeht als die Gegenhypothese, muss der Annahmebereich von $k + 1$ bis $100$ gehen und der Ablehnungsbereich von $0$ bis $k$ .

Der Annahme- bzw. Ablehnungsbereich bestimmt die Größe der Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. bzw. 2. Art.

Das Signifikanzniveau, das heißt die Obergrenze für die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. Art, beträgt $4 \%$ . Dabei soll aber auch der Fehler 2. Art möglichst gering sein, das heißt man muss die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. Art so groß wie möglich, aber trotzdem unter dem Signifikanzniveau ansetzen.

Um den Annahme- bzw. Ablehnungsbereich zu bestimmen, muss die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße kleiner ist als $k + 1$ , höchstens so groß wie das Signifikanzniveau sein.

$\displaystyle P(X<(k+1))$	$≤$	$\displaystyle 0{,}04$
	↓	Wahrscheinlichkeit zu einer "höchstens so groß wie" Aussage umformulieren
$\displaystyle P(X \leq k)$	$≤$	$\displaystyle 0{,}04$
$\displaystyle \sum_{x=0}^k {100 \choose x} \cdot 0{,}9^x \cdot 0{,}1^{100-x}$	$≤$	$\displaystyle 0{,}04$

Jetzt kann man entweder das Tafelwerk oder den Taschenrechner verwenden, um den Wert für $k$ herauszufinden. Dabei muss man darauf achten, dass es sich hier um eine kumulative Verteilung handelt.

$k = 84$ , dementsprechend sehen der Annahme- und der Ablehnungsbereich wie folgt aus:

Annahmebereich:	$\overline {A} = \{ 85, 86, 87, ...,98, 99, 100 \}$
Ablehnungsbereich:	$A = \{0, 1, 2, 3, ..., 82, 83, 84\}$

Im Falle dass $87$ Blumensamen keimen, würde der Test nahelegen, die Nullhypothese, die besagt dass die Behauptung des Großhändlers stimmt, anzunehmen.

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Berechnen Sie für den in Aufgabe 3.a) entwickelten Test die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 2. Art, wenn man davon ausgeht, dass der Anteil der keimenden Samen bei 85 % liegt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fehler erster Art und Fehler zweiter Art
Um die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 2. Art zu bestimmen, muss man die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass die Anzahl der Treffer im Annahmebereich liegt, wenn die Trefferwahrscheinlichkeit nur $85 \%$ beträgt:
Die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 2. Art beträgt in diesem Fall also ca. $56{,}83 \%$ .
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