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Teil 2 Stochastik II

🎓 PrĂŒfungsbereich fĂŒr Bayern

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

Im Folgenden werden relative HĂ€ufigkeiten als Wahrscheinlichkeiten interpretiert.

  1. 1

    Ein GroßhĂ€ndler fĂŒr Saatgut verkauft SĂ€cke verschiedener Sorten von Samenkörnern. ErfahrungsgemĂ€ĂŸ handelt es sich bei 15 % der verkauften SĂ€cke um Saatgut fĂŒr Viehweide (V). SĂ€cke mit Samen fĂŒr Sommerroggen (S) werden viermal so oft verlangt wie die mit Weißklee (W). Weißklee und Grasmischung (G) machen die HĂ€lfte der verkauften SĂ€cke aus. Nur 3 % sind SĂ€cke mit Samen fĂŒr Blumenwiese (B). Die Preise pro Sack können nachfolgender Preisliste entnommen werden.

    Preisliste
    1. Die ZufallsgrĂ¶ĂŸe X gibt den Preis pro verkauftem Sack in Euro an. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X.

      [Teilergebnis: P(W) = 0,08]

    2. Berechnen Sie – unter Verwendung von Aufgabe a) – den durchschnittlich zu erwartenden monatlichen Gewinn durch den Verkauf des Saatguts, wenn bekannt ist, dass der GroßhĂ€ndler pro Monat 120 SĂ€cke Saatgut verkauft und ihm 30 % vom Verkaufspreis als Gewinn bleiben.

  2. 2

    Aufgrund von Kundenanfragen und da der GroßhĂ€ndler ein gĂŒnstiges Angebot fĂŒr Rotklee erhalten hat, will er in Zukunft eine Kleemischung aus Weißklee (W) und Rotklee (R) anbieten. Laut dem Samenproduzenten liegt die Wahrscheinlichkeit, dass ein Samenkorn vom Weißklee keimt, bei 92,5 %. Die Keimwahrscheinlichkeit der Rotkleesamen liegt bei 80 %.

    1. Ermitteln Sie mithilfe eines Baumdiagramms, in welchem VerhĂ€ltnis der GroßhĂ€ndler Weiß- und Rotkleesamen mischen muss, damit die Keimwahrscheinlichkeit P(K) der Mischung bei 85 %liegt.

    2. Ein Landwirt kauft einen Sack der neuen Kleemischung, welche zu 85 % keimt, und sĂ€t 200 Samenkörner auf einem kleinen frischgepflĂŒgten Teil einer seiner Wiesen aus. Die ZufallsgrĂ¶ĂŸe Y gibt die Anzahl der keimenden Samen an. Berechnen Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Anzahl der keimenden Samen innerhalb der einfachen Standardabweichung um den Erwartungswert liegt.

  3. 3

    Eine GĂ€rtnerin möchte den Bienen in ihrer Umgebung etwas Gutes tun und kauft einen Sack Saatgut fĂŒr eine Blumenwiese. Der GroßhĂ€ndler behauptet, dass die Blumensamen zu 90 % keimen. Jedoch vermutet die GĂ€rtnerin, dass es weniger sind (Gegenhypothese). Ist dies der Fall, so will sie ihr Saatgut in Zukunft von einem anderen GroßhĂ€ndler beziehen. Um ihre Vermutung zu ĂŒberprĂŒfen, sĂ€t sie 100 zufĂ€llig ausgewĂ€hlte Samenkörner aus und beobachtet deren Keimverhalten. Sie will sich bei der Annahme ihrer Vermutung um höchstens 4 % irren.

    1. Entwickeln Sie einen geeigneten Hypothesentest fĂŒr die GĂ€rtnerin und geben Sie an, welche Entscheidung der Test nahelegt, wenn 87 Blumensamen keimen.

    2. Berechnen Sie fĂŒr den in Aufgabe 3.a) entwickelten Test die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 2. Art, wenn man davon ausgeht, dass der Anteil der keimenden Samen bei 85 % liegt.


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