Aufgaben zur Bestimmung von Stammfunktionen

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)= 6\sqrt{x}$ .

Bestimme diejenige Stammfunktion, deren Graph durch den Punkt $(1|0)$ verläuft.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktionen bestimmen

Eine Stammfunktion $F(x)$ ist das unbestimmte Integral $\int_{ }^{ }f(x)\mathrm{d}x=F(x)$ .

Allerdings kann zu jeder Stammfunktion $F(x)$ eine beliebige Zahl $C$ addiert werden, da diese konstante Zahl beim Ableiten wegfällt. Also gilt: $\int_{ }^{ }f(x)\mathrm{d}x=F(x)+C$ mit $C \in \mathbb{R}$

Stammfunktionen von einer Potenzfunktion der Form $f(x)=k \cdot x^n$ sind für $n\neq-1$ gegeben durch:

$F(x)=\dfrac{k}{n+1}\cdot x^{n+1} + C$

Die gegebene Funktion $f(x)=6\cdot\sqrt{x}$ ist eine Potenzfunktion.

Die $\sqrt{x}$ kann als Potenz geschrieben werden: $\;\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$

Also ist $f(x)=6\cdot\sqrt{x}=6\cdot x^{\frac{1}{2}}$

Integriere mit Hilfe der Schreibweise als Potenz.

$\displaystyle \int_{ }^{ }f(x)\mathrm{d}x$	$=$	$\displaystyle \int_{ }^{ }6\cdot\sqrt{x}\mathrm{d}x$
	↓	Setze $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$ ein.
	$=$	$\displaystyle \int_{ }^{ }6\cdot x^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}x$
	↓	Beachte die Potenzregel. Addiere in Exponenten eine $1$ und teile durch den neuen Exponenten.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{6}{\frac{1}{2}+1}\cdot x^{\frac{1}{2}+1}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{6}{\frac{3}{2}}\cdot x^{\frac{3}{2}}$
	↓	Multipliziere $6$ mit dem Kehrwert von $\frac{3}{2}$ .
	$=$	$\displaystyle 6\cdot \frac{2}{3}\cdot x^{\frac{3}{2}}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle \frac{12}{3}\cdot x^{\frac{3}{2}}$
	↓	Kürze den Bruch.
	$=$	$\displaystyle 4\cdot x^{\frac{3}{2}}$

Du hast die Stammfunktion $F(x)=4\cdot x^{\frac{3}{2}}$ erhalten. Addiere noch die Konstante $C$ .

$F(x)=4\cdot x^{\frac{3}{2}}+C$

Setze nun den Punkt $(1|0)$ in $F(x)$ ein, um die Konstante $C$ zu bestimmen.

$\displaystyle F(x)$	$=$	$\displaystyle 4\cdot x^{\frac{3}{2}}+C$
	↓	Setze den Punkt $(\textcolor{ff6600}{1}\|\textcolor{660099}{0})$ in $F(x)$ ein.
$\displaystyle \textcolor{660099}{0}$	$=$	$\displaystyle 4\cdot \textcolor{ff6600}{1}^{\frac{3}{2}}+C$
	↓	Vereinfache $1^{\frac{3}{2}}=1$ und $4\cdot1=4$ .
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 4+C$	$\displaystyle -4$
	↓	Löse nach $C$ auf.
$\displaystyle -4$	$=$	$\displaystyle C$

Mit $C=-4$ lautet die gesuchte Stammfunktion $F(x)=4x^{\frac{3}{2}}-4$ .

Antwort: Der Graph der Funktion $F(x)=4x^{\frac{3}{2}}-4$ verläuft durch den Punkt $(1|0)$ .

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