Flächeninhalt und bestimmtes Integral

$f(x)=3+sin(x),\;D_f=\mathbb{R}$

Berechne $\int_0^1f(x)\mathrm{dx}$ ; $\int_0^{\pi}f(x)\mathrm{dx}$ ; $\int_\frac{\pi}3^{2{\pi}}f(x)\mathrm{dx}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integrieren

$\displaystyle \int_0^1\left(3+\sin x\right)\mathrm{dx}$	$=$	$\displaystyle \left[3x-\cos x\right]_0^1$
	↓	In die Klammer wird für $x$ die rechte Grenze (1) eingesetzt und die Klammer mit der linken Grenze (0) abgezogen.
	$=$	$\displaystyle \left(3\cdot1-\cos1\right)-\left(3\cdot0-\cos0\right)$
	↓	Klammern auflösen, $\cos(0)=1$
	$=$	$\displaystyle 3-\cos1+1$
	$=$	$\displaystyle 4-\cos1$
	$\approx ≈$	$\displaystyle 3{,}4597$

$\displaystyle \int_0^{\mathrm{\pi}}\left(3+\sin x\right)\mathrm{dx}$	$=$	$\displaystyle \left[3x-\cos x\right]_0^{\pi}$
	↓	In die Klammer wird für $x$ die rechte Grenze ( $\mathrm\pi$ ) eingesetzt und minus die Klammer mit der linken Grenze (0) gerechnet.
	$=$	$\displaystyle \left(3\cdot\mathrm{\pi}-\cos\mathrm{\pi}\right)-\left(3\cdot0-\cos0\right)$
	↓	Klammern auflösen, $\cos0=1;\;\cos\mathrm\pi=-1$ .
	$=$	$\displaystyle 3\cdot\mathrm{\pi}+1+1$
	$=$	$\displaystyle 3\pi +2$
	$\approx ≈$	$\displaystyle 11{,}4248$
	$\approx ≈$

$\displaystyle \int_{\frac{\pi}{3}}^{2\pi}\left(3+\sin x\right)\mathrm{dx}$	$=$	$\displaystyle \left[3x-\cos x\right]_{\frac{\mathrm{\pi}}{3}}^{2\mathrm{\pi}}$
	↓	In die Klammer wird für $x$ die rechte Grenze ( $2\mathrm\pi$ ) eingesetzt und minus die Klammer mit der linken Grenze $\left(\frac{\mathrm\pi}3\right)$ gerechnet.
	$=$	$\displaystyle \left(3\cdot2\mathrm{\pi}-\cos\left(2\mathrm{\pi}\right)\right)-\left(3\cdot\frac{\mathrm{\pi}}{3}-\cos\frac{\mathrm{\pi}}{3}\right)$
	↓	Klammern auflösen, $\cos\left(2\mathrm\pi\right)=1;\;\cos\frac{\mathrm\pi}3=0{,}5$ .
	$=$	$\displaystyle 6\mathrm{\pi}-1-\mathrm{\pi}+0{,}5$
	$=$	$\displaystyle 5\mathrm{\pi}-0{,}5$
	$\approx ≈$	$\displaystyle 15{,}208$

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Berechne den Inhalt des Flächenstücks zwischen $G_{f}$ , der y-Achse und der Geraden $y=2\pi$ im Bereich von $0$ bis $\mathrm\pi$

$\displaystyle A$	$=$	$\displaystyle \int_0^{\mathrm{\pi}}\left(2\mathrm{\pi}-\left(3+\sin x\right)\right)dx$
	$=$	$\displaystyle \int_0^{\mathrm{\pi}}\left(2\mathrm{\pi}-3-\sin x\right)dx$
	↓	Integrieren
	$=$	$\displaystyle \left[2\mathrm{\pi x}-3x+\cos x\right]_0^{\mathrm{\pi}}$
	↓	In die Klammer wird für $x$ die rechte Grenze ( $\mathrm\pi$ ) eingesetzt und minus die Klammer mit der linken Grenze (0) gerechnet.
	$=$	$\displaystyle \left(2\pi\cdot\mathrm{\pi}-3\cdot\mathrm{\pi}+\cos\mathrm{\pi}\right)-\left(2\pi\cdot0-3\cdot0+\cos0\right)$
	↓	Klammern auflösen, $\cos\left(\mathrm\pi\right)=-1,\;\cos\left(0\right)=1$
	$=$	$\displaystyle 2\mathrm{\pi}^2-3\mathrm{\pi}-1-1$
	$=$	$\displaystyle 2\mathrm{\pi}^2-3\mathrm{\pi}-2$
	$\approx ≈$	$\displaystyle 8{,}3144$