Allgemeine Aufgaben zur Wahrscheinlichkeit

Ein Zufallsexperiment hat die vier Elementarereignisse

$\mathit\Omega=\{\omega_1,\omega_2,\omega_3,\omega_4\}$

Außerdem sind die Wahrscheinlichkeiten von drei Ereignissen $E_{1}$

bis $E_{3}$ gegeben.

$E_1:=\{\omega_1,\omega_2\}$ ; $P\left(E_1\right)=0{,}2$

$E_2:=\{\omega_3\}$ ; $P\left(E_2\right)=0{,}5$

$E_3:=\left\{\omega _4\right\}$ ; $P\left(E_3\right)=0{,}5$

Begründe, dass diese Wahrscheinlichkeitsverteilung unzulässig ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wahrscheinlichkeit
Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten muss immer $1$ betragen, deswegen ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung hier unzulässig, da sie $1,2$ beträgt.
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Addiere die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse
Ändere $P\left(E_3\right)$ so ab, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung zulässig ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wahrscheinlichkeit
Es muss gelten:
$P\left(E_1\right)+P\left(E_2\right)+P\left(E_3\right)=1$
Löse nach $P (E_{3})$ auf.
$1-P\left(E_1\right)-P\left(E_2\right)=P\left(E_3\right)$
Setze die Werte aus der Angabe ein.
$1 - 0,2 - 0,5 = 0,3$
$\Rightarrow\;P\left(E_3\right)=0{,}3$
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Die Summe aller Ergebnisse muss 1 betragen.

Berechne $P\left(\left\{\operatorname{\omega}_1\right\}\right)$ unter der Voraussetzung, dass $\operatorname{\omega}_1$ mit einer doppelt so hohen Wahrscheinlichkeit auftritt wie $\operatorname{\omega}_2$ .

$\displaystyle P\left(\left\{\omega_1;\omega_2\right\}\right)$	$=$	$\displaystyle P\left(\left\{\omega_1\right\}\right)+P\left(\left\{\omega_2\right\}\right)$
	↓	Ersetze $P(\{\omega_1\})=2\cdot P(\{\omega_2\})$ und $P(\{\omega_1;\omega_2\})=0{,}2$
$\displaystyle 0{,}2$	$=$	$\displaystyle 2\cdot P\left(\left\{\omega_2\right\}\right)+P\left(\left\{\omega_2\right\}\right)$
	↓	Fasse zusammen
$\displaystyle 0{,}2$	$=$	$\displaystyle 3\cdot P\left(\left\{\omega_2\right\}\right)$	$\displaystyle :3$
$\displaystyle P\left(\left\{\omega_2\right\}\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{15}$

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