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31Abstände zwischen Geraden

Fall 1: Geraden sind parallel zueinander

parallele Geraden

Der Fall paralleler Geraden lässt sich auf die Abstandberechnung eines Punktes von einer Geraden zurückführen.

(siehe Abschnitt Punkt und Gerade:

Methode 1 Hilfsebene)

Beispiel 1

Fall 2: Geraden sind windschief

Gegeben sind die beiden Geraden

g: OX=OA+rug:\ \overrightarrow{OX} = \overrightarrow{OA} +r \cdot \vec u und h: OX=OB+svh:\ \overrightarrow{OX}=\overrightarrow{OB}+s\cdot\vec{v}

Methode 1 Hessesche Normalenform

Windschiefe Geraden mit Hessescher Normalenform

1. Bestimme eine Ebene HH, die die Gerade hh enthält und parallel zur Geraden gg ist.

Den Normalenvektor n\vec n dieser Ebenengleichung HH erhältst du, indem du das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren der Geraden gg und hh bildest.

(Alternativ ist die Bestimmung von n\vec n auch über das Skalarprodukt von nu=0\vec{n}\circ \vec{u}=0 und nv=0\vec{n}\circ \vec{v}=0 möglich.)

n=u×v\vec{n}=\vec{u}\times \vec{v}

Mit diesem Normalenvektor erstellst du die Ebenengleichung in der Normalenform:

H: n(OXOA)=0H: \ \vec n \circ\left(\overrightarrow{OX}-\overrightarrow{OA}\right)=0

Für den Vektor OA\overrightarrow{OA} setzt du den Aufpunkt OB\overrightarrow{OB} der Geraden hh ein.

2. Schreibe die Normalenform der Ebene HH als Koordinatenform.

3. Berechne den Betrag des Normalenvektor n|\vec n| und wandle die Koordinatenform der Ebene in die Hessesche Normalenform um.

4. Den Abstand der beiden Geraden erhältst du, wenn du die Koordinaten des Aufpunktes der Geraden g in die Hessesche Normalenform einsetzt.

Beispiel Methode 1


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