30Abstände zwischen Punkten und Ebenen

Gegeben ist die Ebene z.B. in Koordinatenform

$E:ax_1+bx_2+cx_3-d=0$ und ein Punkt $P\left(P_1|P_2|P_3\right)$. Der Normalenvektor von $E$ ist:

$\vec n=\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$und $|\vec{n}|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$

1. Man erstellt die Hessesche Normalenform:

$E_{HNF}=\dfrac{ax_1+bx_2+cx_3-d}{|\vec{n}|}=0\\E_{HNF}=\dfrac{ax_1+bx_2+cx_3-d}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=0$

2. Zur Berechnung des Abstandes setzt man die Koordinaten des Punktes $P$ in Hessesche Normalenform ein:

$d(P,E)=\left|\dfrac{a\cdot P_1+b\cdot P_2+c\cdot P_3-d}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\right|$

Nachteil dieser Methode: Es kann nur der Abstand und nicht der Lotfußpunkt berechnet werden.