32Abstände zwischen Geraden und Ebenen
Der Abstand einer zur Ebene (echt) parallelen Geraden wird mit zwei verschiedenen Methoden berechnet.
1. Lösung mit Hessescher Normalenform
2. Lösung mit einer Hilfsgeraden
Der Abstand zwischen Objekten im dreidimensionalen Raum ist definiert als die kürzeste Entfernung zwischen diesen Objekten.
Betrachtet man eine Gerade und eine Ebene , dann gibt es Lagebeziehungen dieser Objekte zueinander, verbunden mit entsprechenden gegenseitigen Abständen:
, die Gerade liegt in der Ebene,
, die Gerade schneidet die Ebene in einem Punkt ,
, die Gerade ist (echt) parallel zu , dann ist der Abstand ungleich .
Für den letzten Fall wird die Abstandberechnung durchgeführt.
Vorgehensweise
Gegeben sind eine Ebenengleichung in Koordinatenform und eine zu parallele Gerade . Berechne den Abstand der Geraden von der Ebene
1. Lösung mit Hessescher Normalenform
1. Erstelle von der Ebene die Hessesche Normalenform, indem du die Ebenengleichung mit multiplizierst.
Der Abstand der Geraden zur Ebene kann durch den Abstand eines Punktes von der Geraden zur Ebene bestimmt werden. Dabei reicht ein beliebiger Punkt der Geraden zur Abstandbestimmung aus, da alle Geradenpunkte den gleichen Abstand zur Ebene haben. Wähle z.B. den Aufpunkt der Geraden.
2. Setze in ein:
Der Abstand der Geraden zur Ebene ist gleich .
Beispiel
Gegeben sind eine Ebenengleichung in Koordinatenform und eine zu parallele Gerade .
Berechne den Abstand der Geraden von der Ebene
Lösung
Erstelle von der Ebene die Hessesche Normalenform, indem du die Ebenengleichung mit multiplizierst.
Der Normalenvektor der Ebene ist und sein Betrag ist:
Die Ebenengleichung muss also mit multipliziert werden.
Berechne den Abstand der Geraden von der Ebene , indem du den Aufpunkt der Geraden in einsetzt:
Antwort: Der Abstand der Geraden zur Ebene beträgt .
2. Lösung mit einer Hilfsgeraden
1. Stelle eine Hilfsgerade auf, die durch den Aufpunkt der Geraden verläuft und die orthogonal zur Ebene liegt. Der Normalenvektor der Ebene ist der Richtungsvektor der Hilfsgerade .
2. Schneide die Hilfsgerade mit der Ebene . Setze dazu die Geradengleichung in die gegebene Ebenengleichung ein und löse die Gleichung nach dem Parameter auf.
3. Multipliziere den berechneten Parameter mit dem Normalenvektor .
4. Berechne den Betrag des Vektors .
Der Abstand der Geraden zur Ebene ist: .
Beispiel
Gegeben sind eine Ebenengleichung in Koordinatenform und eine zu parallele Gerade .
Berechne den Abstand der Geraden von der Ebene
Lösung
Stelle eine Hilfsgerade auf, die durch den Aufpunkt der Geraden verläuft und die orthogonal zur Ebene liegt. Der Normalenvektor der Ebene ist der Richtungsvektor der Hilfsgeraden .
Schneide die Hilfsgerade mit der Ebene . Setze dazu die Geradengleichung in die gegebene Ebenengleichung ein:
↓ | Setze in ein. | ||
↓ | Löse die Klammern auf und fasse zusammen. | ||
↓ | Kürze. | ||
Multipliziere den berechneten Parameter mit dem Normalenvektor und berechne den Betrag des Vektors .
Antwort: Der Abstand der Geraden zur Ebene beträgt .