Es handelt sich um Ziehen ohne Zurücklegen. Keine "Niete" bedeutet in diesem Fall "Gewinn".

Daher ist die Wahrscheinlichkeit für das erste Los einen "Gewinn" zu ziehen

$\frac{6}{10}\backslash frac\{6\}\{10\}$, für das zweite $\frac{5}{9}\backslash frac\{5\}\{9\}$ und für das dritte $\frac{4}{8}\backslash frac48$

Um die Gewinnwahrscheinlichkeit auszurechnen, musst du diese Wahrscheinlichkeiten multiplizieren:

$\mathrm{P}(\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{"}\mathrm{N}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{"})=\frac{6}{10}\cdot \frac{5}{9}\cdot \frac{4}{8}=\frac{120}{720}=\frac{1}{6}\approx \mathrm{16,67}\mathrm{\%}\backslash mathrm\{P(Keine~"Niete")\}=\backslash frac\{6\}\{10\}\backslash cdot\backslash frac\{5\}\{9\}\backslash cdot\backslash frac\{4\}\{8\}=\backslash frac\{120\}\{720\}=\backslash frac\{1\}\{6\}\backslash approx16\{,\}67\backslash \%$

Die Wahrscheinlichkeit, beim ersten Mal keinen Gewinn zu ziehen, beträgt $\frac{4}{10}=\frac{2}{5}\backslash frac\{4\}\{10\}=\backslash frac\{2\}\{5\}$. Beim zweiten Mal sind noch $33$ Nieten unter den neun Losen, daher ist die Wahrscheinlichkeit $\frac{3}{9}=\frac{1}{3}\backslash frac\{3\}\{9\}=\backslash frac\{1\}\{3\}$.

Beim dritten Mal ist die Wahrscheinlichkeit, keinen Gewinn zu ziehen $\frac{2}{8}=\frac{1}{4}\backslash frac\{2\}\{8\}=\backslash frac\{1\}\{4\}$.

Die Wahrscheinlichkeit, keinen Gewinn zu ziehen, ist daher

$\frac{2}{5}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{4}=\frac{2}{60}=\frac{1}{30}\approx \mathrm{0,033}\mathrm{\%}\backslash frac\{2\}\{5\}\backslash cdot\backslash frac\{1\}\{3\}\backslash cdot\backslash frac\{1\}\{4\}=\backslash frac\{2\}\{60\}=\backslash frac\{1\}\{30\}\backslash approx0\{,\}033\backslash \%$

Die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Gewinn ist daher

$P(x)=1-\frac{1}{30}=\frac{29}{30}\approx \mathrm{0,9666}\approx \mathrm{96,7}\mathrm{\%}P(x)=1-\backslash frac\{1\}\{30\}=\backslash frac\{29\}\{30\}\backslash approx0\{,\}9666\backslash approx96\{,\}7\backslash \%$.

$E(X)=0\text{ €}\cdot P(0G)+1\text{ €}\cdot P(1G)+2\text{ €}\cdot P(2G)+3\text{ €}\cdot P(3G)=0\text{ €}\cdot \frac{4}{10}\cdot \frac{3}{9}\cdot \frac{2}{8}+1\text{ €}\cdot \left(\genfrac{}{}{0px}{}{3}{1}\right)\cdot \frac{6}{10}\cdot \frac{4}{9}\cdot \frac{3}{8}+2\text{ €}\cdot \left(\genfrac{}{}{0px}{}{3}{2}\right)\frac{6}{10}\cdot \frac{5}{9}\cdot \frac{4}{8}+3\text{ €}\cdot \frac{6}{10}\cdot \frac{5}{9}\cdot \frac{4}{8}=0\text{ €}\cdot \frac{24}{720}+1\text{ €}\cdot 3\cdot \frac{72}{720}+2\text{ €}\cdot 3\cdot \frac{120}{720}+3\text{ €}\cdot \frac{120}{720}=\frac{0}{720}\text{ € }+\frac{216}{720}\text{ € }+\frac{720}{720}\text{ € }+\frac{360}{720}\text{ € }=\frac{1296}{720}\text{ € }=\mathrm{1,80}\text{ €}E(X)=0~€\backslash cdot\; P(0G)+1~€\backslash cdot\; P(1G)+2~€\backslash cdot\; P(2G)+3~€\backslash cdot\; P(3G)\backslash \backslash ~~~~~~~~~~~=\; 0~€\backslash cdot\backslash frac\{4\}\{10\}\backslash cdot\backslash frac39\backslash cdot\backslash frac28~+1~€\backslash cdot\backslash binom31\backslash cdot\backslash frac\{6\}\{10\}\backslash cdot\backslash frac49\backslash cdot\backslash frac38~+\; 2~€\backslash cdot\backslash binom32\backslash frac\{6\}\{10\}\backslash cdot\backslash frac59\backslash cdot\backslash frac48~+3~€\backslash cdot\backslash frac\{6\}\{10\}\backslash cdot\backslash frac59\backslash cdot\backslash frac48\backslash \backslash ~~~~~~~~~~~=0~€\backslash cdot\backslash frac\{24\}\{720\}~+1~€\backslash cdot3\backslash cdot\backslash frac\{72\}\{720\}~+2~€\backslash cdot3\backslash cdot\backslash frac\{120\}\{720\}~+3~€\backslash cdot\backslash frac\{120\}\{720\}\backslash \backslash ~~~~~~~~~~~=\backslash frac\{0\}\{720\}~€~+\backslash frac\{216\}\{720\}~€~+\backslash frac\{720\}\{720\}~€~+\backslash frac\{360\}\{720\}~€~=\backslash frac\{1296\}\{720\}~€~=1\{,\}80~€$

Der Erwartungswert des Gewinns pro Spiel liegt also bei $\mathrm{1,80}\text{ €}1\{,\}80~€$

Das Spiel ist dann fair, wenn der erwartete Gewinn des Spielers $2\text{ €}2~€$ ist. Denn in diesem Fall erhält der Spieler seinen Einsatz von $2\text{ €}2~€$ zurück und macht keinen Verlust, genauso wie der Anbieter des Spieles.

Um den neuen Erwartungswert auszurechnen, braucht man nur den Fall betrachten, dass der Spieler dreimal "Gewinn" zieht. In den anderen Fällen ist der Gewinn schon vorgegeben. Nach der Formel für den Erwartungswert gilt dann:

$E(X)=2\text{ € }=0\text{ €}\cdot P(0G)+1\text{ €}\cdot P(1G)+2\text{ €}\cdot P(2G)+X\text{ €}\cdot P(3G)\to 2\text{ € }=\frac{0}{720}\text{ € }+\frac{216}{720}\text{ € }+\frac{720}{720}\text{ € }+X\frac{120}{720}\text{ € }\mathrm{\mid }-(\frac{216}{720}+\frac{720}{720})\to \mathrm{0,70}\text{ € }=X\frac{120}{720}\text{€ }\mathrm{\mid }\cdot \frac{720}{120}\to \mathrm{4,20}\text{ € }=X\text{ €}E(X)~=2~€~=~0~€\backslash cdot\; P(0G)+1~€\backslash cdot\; P(1G)+2~€\backslash cdot\; P(2G)+X~€\backslash cdot\; P(3G)\backslash \backslash ~~~~~\backslash rightarrow~~~~~~2~€~=\; \backslash frac\{0\}\{720\}~€~+\backslash frac\{216\}\{720\}~€~+\backslash frac\{720\}\{720\}~€~+X\backslash frac\{120\}\{720\}~€~~~~|-(\backslash frac\{216\}\{720\}+\backslash frac\{720\}\{720\})\backslash \backslash ~~~~~\backslash rightarrow~0\{,\}70~€~=~X\backslash frac\{120\}\{720\}€~~~~|\backslash cdot\backslash frac\{720\}\{120\}\backslash \backslash ~~~~~\backslash rightarrow~4\{,\}20~€~=~X~€$

Der Gewinn bei drei "Gewinn"-Losen muss also $\mathrm{4,20}\text{ €}4\{,\}20~€$ betragen, damit es sich um ein faires Spiel handelt