Gegeben sind die Ereignisse:

$E$: "Ein Teilnehmer der Umfrage ist 1.Klasse-Fahrer"

$Z$: "Ein Teilnehmer der Umfrage ist mit dem Service des Unternehmens zufrieden"

Gegeben sind die folgenden Werte:

$P(E)=10\%=0{,}1$

$P_{\overline E}(Z)=\frac{5}{6}$

$P_{E}(\overline Z)=70\%=0{,}7$

Damit kannst du mit Hilfe der bedingten Wahrscheinlichkeit folgende Werte errechnen:

$P(E \cap \overline Z) = P(E)\cdot P_{E}(\overline Z)=0{,}1\cdot 0{,}7\% = 0{,}07$

$P(\overline E)=1-P(E)=1-0{,}1=0{,}9$

$P(\overline E \cap Z) = P(\overline E)\cdot P_{\overline E}(Z)=0{,}9\cdot \frac56 = 0{,}75$

Schreibe diese Werte in eine Vierfeldertafel.

Nun kannst du weitere Werte berechnen:

$P(E\cap Z)=P(E)-P(E\cap\overline{Z})=0{,}1-0{,}07=0{,}03$

$P(\overline{E}\cap\overline{Z})=P(\overline{E})-P(\overline{E}\cap Z)=0{,}9-0{,}75=0{,}15$

Füge diese in die Vierfeldertafel ein:

Damit kannst du die restlichen Werte berechnen:

$P(Z)=(Z\cap E)+P(Z\cap\overline{E})=0{,}03+0{,}75=0{,}78$

$P(\overline{Z})=P(\overline{Z})+P(\overline{Z}\cap \overline{E})=0{,}07+0{,}15=0{,}22$

Damit ergibt sich die vollständige ausgefüllte Vierfeldertafel als:

Wie aus der Vierfeldertafel aus Teilaufgabe 1 ersichtlich wird, gilt $P(Z)=0{,}78=78\%$. Damit hat sich der Zufriedenheitswert gegenüber dem Vorjahr um 1 Prozentpunkt verbessert. Der Geschäftsführer hat somit Unrecht.

Obwohl sich die Zufriedenheitswerte der Fahrgäste erster Klasse von $45\%$ im Vorjahr auf $30\%$ in diesem Jahr und der Fahrgäste zweiter Klasse von $85\%$ im Vorjahr auf $\frac56\approx83{,}3\%$ in diesem Jahr verschlechtert haben sind sie bei Betrachtung aller Fahrgäste von $77\%$ auf $78\%$ gestiegen. Wie ist dies möglich?

Stelle dazu eine Vierfeldertafel für das Vorjahr auf.

Gegeben sind folgende Werte:

$P(Z)=77\%=0{,}77$

$P_{\overline E}(Z)=85\%=0{,}85$

$P_E(Z)=45\%=0{,}45$

Bezeichne die Wahrscheinlichkeit, dass ein Fahrgast erster Klasse fährt mit $x\;(P(E)=x)$. Dann gilt nach der Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit:

$P(E\cap Z)=P(E)\cdot P_E(Z)=0{,}45\cdot x$

$P(\overline{E}\cap Z)=P(\overline{E})\cdot P_{\overline{E}}(Z)=0{,}85\cdot(1-x)$

Desweiteren gilt die Gleichung:

Damit kannst du die Werte in die Vierfeldertafel einsetzen, indem du in die obigen Formeln das $x$ einsetzt.

$P(E\cap Z)=P(E)\cdot P_E(Z)=0{,}45\cdot 0{,}2=0{,}09$

$P(\overline{E}\cap Z)=P(\overline{E})\cdot P_{\overline{E}}(Z)=0{,}85\cdot (1-0{,}2)=0{,}68$

Setze nun in die Vierfeldertafel ein.

Nun kann man die restlichen Werte leicht bestimmen:

$P(E\cap\overline{Z})=P(E)-P(E\cap Z)=0{,}2-0{,}09=0{,}11$

$P(\overline{E}\cap\overline{Z})=P(\overline{E})-P(\overline{E}\cap Z)=0{,}8-0{,}68=0{,}12$

$P(\overline{Z})=1-P(Z)=1-0{,}77=0{,}23$

Erstelle nun die vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel für das Vorjahr:

Der Umstand, dass sich trotz der Verschlechterung der Zufriedenheitswerte bei den Fahrgästen erster und zweiter Klasse insgesamt eine Verbesserung der Zufriedenheitswerte ergibt, ist also der Tatsache geschuldet, dass sich das Fahrgastverhalten dahingehend geändert hat, dass deutlich mehr Fahrgäste zweiter Klasse fahren als im Vorjahr und dort die Zufriedenheitswerte im Vergleich zur ersten Klasse nur sehr leicht gesunken sind.