Aufgaben zu Zufallsgrößen und Verteilungsfunktion

Man wirft eine Münze dreimal. Die Zufallsgröße X gibt an, wie oft dabei "Zahl" geworfen wurde. Gib die Verteilungsfunktion an und berechne:

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens 2 mal Zahl geworfen wird.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Verteilungsfunktion
Du benötigst außerdem folgendes Grundwissen: Zufallsgröße und Gegenereignis.
Der Ergebnisraum ist hier
$Ω = {{K, K, K}, {K, K, Z}, {K, Z, Z}, {Z, Z, Z}}$ .
Die Zufallsgröße $X$ ordne jedem Ergebnis die Anzahl an "Zahl-Würfen" zu, also
$X ({K, K, K}) = 0$ ,
$X ({K, K, Z}) = 1$ ,
$X ({K, Z, Z}) = 2$ und
$X ({Z, Z, Z}) = 3$ .
Die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Werte sind
$P (X = 0) = \frac{1}{8}$ ,
$P (X = 1) = \frac{3}{8}$ ,
$P (X = 2) = \frac{3}{8}$ und
$P (X = 3) = \frac{1}{8}$ .
Mindestens zwei mal Zahl zu werfen ist das Gegenereignis zu höchstens einmal Zahl zu werfen. Also ist die Wahrscheinlichkeit
$P (X \geq 2)$ $=$ $1 - P (X \leq 1)$
$=$ $1 - P (X = 1) - P (X = 0)$
$=$ $1 - \frac{3}{8} - \frac{1}{8}$
$=$ $\frac{1}{2}$
Natürlich kann man das auch direkt berechnen:
$P (X \geq 2)$ $=$ $P (X = 2) + P (X = 3)$
$=$ $\frac{3}{8} + \frac{1}{8}$
$=$ $\frac{1}{2}$
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Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass höchstens 1 mal Zahl geworfen wird.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Verteilungsfunktion
Wie aus der ersten Teilaufgabe abzulesen ist, ist der Ergebnisraum hier folgender
$P (X = 0) = \frac{1}{8}$
$P (X = 1) = \frac{3}{8}$
Die Wahrscheinlichkeit für höchstens einmal Zahl ist
$P (X \leq 1)$ $=$ $P (X = 1) + P (X = 0)$
$=$ $\frac{3}{8} + \frac{1}{8}$
$=$ $\frac{1}{2}$
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Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau 2 mal Zahl geworfen wird.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Verteilungsfunktion
Die Wahrscheinlichkeit für genau zwei mal Zahl ist
$P (X = 2) = \frac{3}{8}$
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$P (X \geq 2)$	$=$	$1 - P (X \leq 1)$
	$=$	$1 - P (X = 1) - P (X = 0)$
	$=$	$1 - \frac{3}{8} - \frac{1}{8}$
	$=$	$\frac{1}{2}$

$P (X \geq 2)$	$=$	$P (X = 2) + P (X = 3)$
	$=$	$\frac{3}{8} + \frac{1}{8}$
	$=$	$\frac{1}{2}$

$P (X \leq 1)$	$=$	$P (X = 1) + P (X = 0)$
	$=$	$\frac{3}{8} + \frac{1}{8}$
	$=$	$\frac{1}{2}$

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