Stochastik, Teil A, Aufgabengruppe 2

An einem P-Seminar nehmen acht Mädchen und sechs Jungen teil, darunter Anna und Tobias. Für eine Präsentation wird per Los aus den Teilnehmerinnen und Teilnehmern ein Team aus vier Personen zusammengestellt.

Geben Sie zu jedem der folgenden Ereignisse einen Term an, mit dem die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses berechnet werden kann. $A$ : "Anna und Tobias gehören dem Team an." $B$ : "Das Team besteht aus gleich vielen Mädchen und Jungen." (3 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Urnenmodell
In dem P-Seminar sind $8$ Mädchen und $6$ Jungen, insgesamt nehmen also $14$ Personen teil. Ein Team, bestehend aus $4$ Personen, wird per Los zusammengestellt. Man stellt sich die Situation als ein Urnenmodell vor: Es wird per Los entschieden, also wird "Ziehen ohne Zurücklegen" dargestellt. Hierbei spielt die Reihenfolge der ausgelosten Personen keine Rolle. Es gibt somit keine Anordnung.
Die Anzahl an Möglichkeiten, $4$ Personen aus $14$ auszulosen, beträgt
$\displaystyle |\Omega| = \begin{pmatrix}14\\4\end{pmatrix}=\frac{14!}{4!\cdot(14-4)!} = 1001$
Das Ereignis $A$ sagt aus, dass das Team bis jetzt aus zwei Schülern, nämlich Anna und Tobias, besteht. Zu ihnen müssen zwei Teammitglieder aus den restlichen $12$ Personen frei ausgewählt werden. Die Anzahl an Möglichkeiten ist
$\displaystyle |A| = \begin{pmatrix}12\\2\end{pmatrix} = \frac{12!}{2! \cdot (12-2)!} = 66$
Daraus ergibt sich die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $A$
$\displaystyle P(A) = \frac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl der möglichen Ergebnisse}} = \frac{66}{1001} = \frac{6}{91} \approx 0{,}07$
Das Ereignis $B$ drückt aus, dass $2$ Mädchen und $2$ Jungen ausgelost werden. Also ist die Anzahl an Möglichkeiten, $2$ aus $8$ Mädchen und $2$ aus $6$ Jungen auszusuchen
$\displaystyle |B| = \begin{pmatrix}8\\2\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}6\\2\end{pmatrix} = \frac{8!}{2!\cdot(8-2)!} \cdot \frac{6!}{2!\cdot(6-2)!} = 28 \cdot 15 = 420$
Daraus ergibt sich die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $B$
$\displaystyle P(B) = \frac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl der möglichen Ergebnisse}} = \frac{420}{1001} = \frac{60}{143} \approx 0{,}42$
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Beschreiben Sie im Sachzusammenhang ein Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit durch den folgenden Term berechnet werden kann: $\frac{\begin{pmatrix}14\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}6\\4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}14\\4\end{pmatrix}}$ (2 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wahrscheinlichkeit
Sei $C$ das Ereignis, das durch die angegebene Wahrscheinlichkeit beschrieben werden kann. Man kann versuchen, den obigen Term geeignet umzuformen:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrll}P(C) &= &\frac{\begin{pmatrix}14\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}6\\4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}14\\4\end{pmatrix}} &= \frac{\begin{pmatrix}14\\4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}14\\4\end{pmatrix}} - \frac{\begin{pmatrix}6\\4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}14\\4\end{pmatrix}} = 1 - \frac{\begin{pmatrix}6\\4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}14\\4\end{pmatrix}}&=\frac{986}{1001} \approx0{,}985 \end{array}$
Durch $\frac{\begin{pmatrix}6\\4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}14\\4\end{pmatrix}}$ wird ausgedrückt, wie wahrscheinlich es ist, $4$ Jungs aus $6$ auszulosen. Da ein Team bereits aus $4$ Mitgliedern besteht, muss man keine Person mehr aus den Mädchen auslosen. Anders aufgeschrieben sieht es so aus:
$\displaystyle \frac{\begin{pmatrix}6\\4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}14\\4\end{pmatrix}} = \frac{\begin{pmatrix}8\\0\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}6\\4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}14\\4\end{pmatrix}}$
Aufgepasst!
$P(\overline{C}) = \frac{\begin{pmatrix}8\\0\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}6\\4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}14\\4\end{pmatrix}}$
$P(C) = 1-\frac{\begin{pmatrix}8\\0\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}6\\4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}14\\4\end{pmatrix}}$
Das Ereignis $C$ ist also das Gegenereignis davon, dass ein Team nur aus $4$ Jungen besteht. Es gilt also $C$ : "Das Team besteht aus mindestens einem Mädchen."
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