Stochastik, Teil A, Aufgabengruppe 2

In dem P-Seminar sind $8$ Mädchen und $6$ Jungen, insgesamt nehmen also $14$ Personen teil. Ein Team, bestehend aus $4$ Personen, wird per Los zusammengestellt. Man stellt sich die Situation als ein Urnenmodell vor: Es wird per Los entschieden, also wird "Ziehen ohne Zurücklegen" dargestellt. Hierbei spielt die Reihenfolge der ausgelosten Personen keine Rolle. Es gibt somit keine Anordnung.

Die Anzahl an Möglichkeiten, $4$ Personen aus $14$ auszulosen, beträgt

Das Ereignis $A$ sagt aus, dass das Team bis jetzt aus zwei Schülern, nämlich Anna und Tobias, besteht. Zu ihnen müssen zwei Teammitglieder aus den restlichen $12$ Personen frei ausgewählt werden. Die Anzahl an Möglichkeiten ist

Daraus ergibt sich die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $A$

Das Ereignis $B$ drückt aus, dass $2$ Mädchen und $2$ Jungen ausgelost werden. Also ist die Anzahl an Möglichkeiten, $2$ aus $8$ Mädchen und $2$ aus $6$ Jungen auszusuchen

Daraus ergibt sich die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $B$

Sei $C$ das Ereignis, das durch die angegebene Wahrscheinlichkeit beschrieben werden kann. Man kann versuchen, den obigen Term geeignet umzuformen:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrll}P(C) &= &\frac{\begin{pmatrix}14\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}6\\4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}14\\4\end{pmatrix}} &= \frac{\begin{pmatrix}14\\4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}14\\4\end{pmatrix}} - \frac{\begin{pmatrix}6\\4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}14\\4\end{pmatrix}} = 1 - \frac{\begin{pmatrix}6\\4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}14\\4\end{pmatrix}}&=\frac{986}{1001} \approx0{,}985 \end{array}$

Durch $\frac{\begin{pmatrix}6\\4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}14\\4\end{pmatrix}}$ wird ausgedrückt, wie wahrscheinlich es ist, $4$ Jungs aus $6$ auszulosen. Da ein Team bereits aus $4$ Mitgliedern besteht, muss man keine Person mehr aus den Mädchen auslosen. Anders aufgeschrieben sieht es so aus:

Aufgepasst!

• $P(\overline{C}) = \frac{\begin{pmatrix}8\\0\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}6\\4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}14\\4\end{pmatrix}}$

• $P(C) = 1-\frac{\begin{pmatrix}8\\0\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}6\\4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}14\\4\end{pmatrix}}$

Das Ereignis $C$ ist also das Gegenereignis davon, dass ein Team nur aus $4$ Jungen besteht. Es gilt also $C$: "Das Team besteht aus mindestens einem Mädchen."

Zur Bearbeitung beider Teilaufgaben benötigst du außerdem folgendes Grundwissen: Zufallsexperiment, Ereignis, Wahrscheinlichkeit, Ergebnismenge, Zufallsgröße und Erwartungswert.

Ein Laplace-Experiment ist ein Zufallsexperiment, bei dem alle Elementarereignisse dieselbe Wahrscheinlichkeit haben.

Die Wahrscheinlichkeit ist für einen Münzwurf immer gleich, d. h. $P(Z) = P(W) = \frac{1}{2}$.

Jedoch setzt sich die Ereignismenge aus verschieden langen Kombinationen von Münzwürfen zusammen. Aus diesem Grund können die möglichen Elementarereignisse nicht dieselbe Wahrscheinlichkeit haben.

Diese Wahrscheinlichkeitsverteilung der Ergebnismenge kannst du berechnen, indem du die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Ereignisse multiplizierst:

Somit ist das angegebene Zufallsexperiment kein Laplace-Experiment.

Die Zufallsgröße $X$ drückt die Anzahl der Münzwürfe für die entsprechenden Ereignisse aus. Das bedeutet, dass man für jedes Element aus der Ergebnismenge jeweils einen Wert für $X$ erhält, der besagt, wie oft die Münze geworfen wurde. Trage alle Ergebnisse zur Übersichtlichkeit in eine Tabelle ein:

Die Wahrscheinlichkeiten $P$ der einzelnen Elementarereignisse hast du bereits in Teilaufgabe a) ausgerechnet. Daraus kannst du die Wahrscheinlichkeit, das Experiment nach zwei und drei Münzwürfen abzubrechen, ausrechnen.

Die Wahrscheinlichkeit für $X=2$ ist:

$\def\arraystretch{2} \begin{array}{rrl}P(X=2) &= &P(\{ZZ\}) + P(\{WW\}) \\P(X=2) &= &\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} \\P(X=2) &= &\dfrac{1}{2}\end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit für $X=3$ ist:

$\def\arraystretch{2} \begin{array}{rrl}P(X=3) &= &P(\{ZWZ\}) + P(\{ZWW\}) + P(\{WZZ\}) + P(\{WZW\}) \\P(X=3) &= &\dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{8}\\P(X=3) &= &\dfrac{1}{2}\end{array}$

Der Mittelwert, also der Erwartungswert, dieser Zufallsgröße $X$ ergibt sich wie folgt:

Übertrage die Werte aus der Tabelle in die allgemeine Formel und berechne den Wert.

Der Erwartungswert $E$ der Zufallsgröße $X$ ist also $\dfrac{5}{2}$. In der Sachsituation bedeutet dieser Mittelwert, dass die Münze im Schnitt 2,5 mal geworfen wird.