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Strecke im Verhältnis teilen

Man kann Strecken relativ leicht mithilfe der zentrischen Streckung teilen.

Eine typische Aufgabenstellung könnte zum Beispiel lauten:

Teile die Strecke AB=10cm im Verhältnis 3:2.

Oder allgemeiner: Teile die Stecke AB im Verhältnis a:b.

Was bedeutet "Teile im Verhältnis a:b"?

Wenn man eine Strecke AB im Verhältnis a:b teilen will, dann möchte man einen Punkt T finden für den gilt: TATB=ab

Strecken im Verhältnis teilen
Beachte

Das bedeutet nicht zwangsläufig, dass a=TA und/oder b=TB gilt. Man betrachtet hier nur ein Verhältnis!

Vorgehen

Um eine solche Aufteilung zu erhalten, zerlegt man die Strecke AB in a+b Teilstücke. Für die Strecken TA und TB folgt dann:

TA=aa+bAB, sowie TB=ba+bAB

Das bedeutet also in Worten:

Wenn man eine Strecke im Verhältnis a:b teilen will, versucht man die Strecke in a+b Teile aufzuteilen. Dann besteht die erste Teilstrecke TA aus a solchen Teilen und die zweite Teilstrecke TB aus b solchen Teilen.

Beispiel

Die Strecke AB=10cm soll im Verhältnis 2:3 geteilt werden. Wie lang ist dann die Strecke von Punkt A zum Teilpunkt T?

  

Lösung: Gesucht ist die Länge der Strecke TA:

TA=22+310cm=2510cm=4cm

Alternative Herangehensweise:

Man teilt die Strecke AB in 2+3=5 Teile auf, also in 5 Teile à 2cm. Die Teilstrecke TA besteht dann aus 2 solchen Teilen, ist also 2 mal 2cm lang. Also 22cm=4cm.

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/8201_doGrWfc9mG.xml

Geometrische Konstruktion einer Streckenteilung

Die Strecke AB soll im Verhältnis a:b geteilt werden. (Im Applet ist das Verhältnis a:b=3:2)

  1. Zeichne eine Gerade h durch A.

  2. Zeichne einen Kreis um A, mit irgendeinem Radius r.

  3. Zeichne einen weiteren Kreis mit demselben Radius, dessen Mittelpunkt der Schnittpunkt des vorherigen Kreises mit der Geraden h ist.

  4. Wiederhole dies a+b mal.

  5. Verbinde den letzten Schnittpunkt mit dem Punkt B.

  6. Zeichne zu der gerade gezeichneten Geraden eine Parallele durch den a-ten Schnittpunkt.

  7. Der Schnittpunkt S dieser Parallelen mit AB teilt die Strecke im Verhältnis a:b.

Im Applet kann man sich die Schritte mithilfe des Schiebereglers anzeigen lassen.

Übungsaufgaben

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