Bestimme zunächst die Schnittpunkte der Ebene $EE$ mit der $x_{1}x\_1$-Achse und $x_{2}x\_2$-Achse:

1. Schnittpunkt mit der $x_{1}x\_1$-Achse:Der Schnittpunkt mit der $x_{1}x\_1$-Achse, $S_{x_1}S\_\{x\_1\}$, hat die Koordinaten $(p\mathrm{\mid }0\mathrm{\mid }0)(p|0|0)$, wobei $p\in \mathbb{R}p\backslash in\backslash mathbb\{R\}$. Setze $S_{x_1}S\_\{x\_1\}$ in die Ebenengleichung ein, um $pp$ zu berechnen:

   ${\displaystyle 2p=-18}\backslash displaystyle\; 2p=-18$
   ${\displaystyle p=-9}\backslash displaystyle\; p=-9$

   $⟹S_{x_1}\backslash Longrightarrow\; S\_\{x\_1\}$ hat die Koordinaten $(-9\mathrm{\mid }0\mathrm{\mid }0)(-9|0|0)$.

2. Schnittpunkt mit der $x_{2}x\_2$-Achse: Der Schnittpunkt mit der $x_{2}x\_2$-Achse, $S_{x_2}S\_\{x\_2\}$, hat die Koordinaten $(0\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }0)(0|q|0)$, wobei $q\in \mathbb{R}q\backslash in\backslash mathbb\{R\}$. Wenn du $S_{x_2}S\_\{x\_2\}$ in die Ebenengleichung einsetzt, erhältst du $q=-18q=-18$.

   $⟹\backslash Longrightarrow$ $S_{x_2}S\_\{x\_2\}$ hat die Koordinaten $(0\mathrm{\mid }-18\mathrm{\mid }0)(0|-18|0)$.

Das sich ergebende Dreieck ist rechtwinklig. Du kannst du den Flächeninhalt des Dreiecks mit der Formel $A_{\mathrm{\Delta }}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot bA\_\{\backslash Delta\; \}=\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash cdot\; a\; \backslash cdot\; b$ berechnen, wobei $aa$ und $bb$ die Katheten sind. Die beiden Katheten liegen auf der $x_{1}x\_1$- bzw. der $x_{2}x\_2$-Achse. Da die Schnittpunkte mit diesen Achsen eine Entfernung von $\mathrm{\mid }-9\mathrm{\mid }|-9|$ bzw. $\mathrm{\mid }-18\mathrm{\mid }|-18|$ vom Ursprung haben, sind die Seitenlängen der Katheten $99$ und $1818$. Der Flächeninhalt ist also

Alternativ kannst du auch die Formel $A_{\mathrm{\Delta }}=\frac{1}{2}\cdot \mathrm{\mid }\overrightarrow{S_{x_1}}\times \overrightarrow{S_{x_2}}\mathrm{\mid }A\_\{\backslash Delta\}=\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash cdot\; |\backslash vec\{S\_\{x\_1\}\}\backslash times\backslash vec\{S\_\{x\_2\}\}|$ für die Berechnung des Flächeninhalts benutzen.

Stelle zunächst die Lotgerade l zu $EE$ durch den Ursprung auf. Aus der Koordinatenform von $EE$ kannst du den Normalenvektor $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -2\end{array}\right)\backslash overrightarrow\{n\}=\backslash begin\{pmatrix\}2\backslash \backslash 1\backslash \backslash -2\backslash end\{pmatrix\}$ ablesen, der der Richtungsvektor der Lotgeraden ist.Als Ortsvektor der Lotgeraden kannst du den Ursprung verwenden; dann erhälst zu die folgende Geradengleichung:

Berechne jetzt den Ortsvektor des Schnittpunkts $SS$ der Lotgeraden mit der Ebene $EE$. Setze hierfür $ll$ in die Koordinatenform von $EE$ ein:

Setze $\lambda =-2\backslash lambda=-2$ in $ll$ ein:

$\overrightarrow{S}\backslash overrightarrow\{S\}$ ist Ortsvektor des Punkts $SS$, der in $EE$ liegt, und zugleich Normalenvektor von $EE$.