Bei dieser Teilaufgabe geht es darum die Wertemenge und Definitionsmenge einer Logarithmusfunktion zu bestimmen. Anschließend soll man diese Funktion auch zeichnen.

Definitionsmenge und Wertemenge

Die Funktion $f_1(x)=-1{,}5 \cdot \text{log}_{0{,}5}(x-1)$ ist nur definiert, wenn das Argument des Logarithmus positiv ist. Du kannst also schnell erkennen, dass du nur Zahlen größer als $1$ einsetzen darfst.

$\mathbb{D}=\{ x|x>1\}$

Die Wertemenge ergibt sich ebenfalls durch die Eigenschaften des Logarithmus und entspricht ganz $\mathbb{R}$.

$\mathbb{W}=\mathbb{R}$

Einzeichnen in ein Koordinatensystem

Zeichne anschließend die Funktion anhand einer Wertetabelle aus deinem Taschenrechner in ein Koordinatensystem ein.

In dieser Teilaufgabe sollst du den Verschiebungsvektor $\vec{v}$ bestimmen und die Funktion $f_2$ in das Koordinatensystem aus B 1.1 einzeichnen.

Bestimmung des Verschiebungsvektors

Die Achsenspiegelung des Graphen $f_1$ führt dazu, dass sich das Vorzeichen der Funktion umkehrt.

Die Verschiebung bewirkt eine Änderung des Arguments im Logarithmus. Aus $x-1$ wird hier $x$. Du kannst dir vorstellen, dass die ganze Funktion um $1$ in $x$-Richtung nach links geschoben wird, da nicht mehr $-1$ gerechnet wird.

Der Vektor, der "Verschiebung um $1$ in $x$-Richtung" repräsentiert ist dann:

$\def\arraystretch{1.25} \vec{v}=\left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \end{array} \right)$

Einzeichnen der Funktion $f_2$

Die Funktion $f_2=1{,}5\cdot \text{log}_{0{,}5}(x)$ zeichnest du wieder mithilfe einer Wertetabelle in das Koordinatensystem ein.

In dieser Teilaufgabe sollst du die Rauten $A_1B_1C_1D_1$ und $A_2B_2C_2D_2$ einzeichnen und die Länge der Strecken $[A_nC_n]$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ bestimmen.

Zeichnen der Rauten $A_1B_1C_1D_1$ und $A_2B_2C_2D_2$

Die Diagonalen in Rauten halbieren sich jeweils. Du kannst nun also bei der Hälfte der Strecke $[A_1C_1]$ ansetzen und exakt $3 \, \text{LE}$ nach links und rechts zeichnen.

Damit kommst du zu den Punkten $B_1$ und $D_1$.

Verbinde nun die Punkte miteinander um die Raute $A_1B_1C_1D_1$ zu erhalten.

Wiederhole diese Schritte für die Raute $A_2B_2C_2D_2$. Dabei nutzt du für $A_2$ und $C_2$ den $x$-Wert $8{,}5$.

Berechnung der Länge der Strecken $\overline{A_nC_n}$

Da die Abszissen der Punkte $A_n$ und $C_n$ gleich groß sind, ist die Strecke $[A_nC_n]$ so lang, wie die Differenz ihrer $y$-Werte.

Die Strecke $[A_nC_n]$ hat die, von $x$ abhängige, Länge $\overline{A_nC_n}=-1{,}5 \cdot \text{log}_{0{,}5}(x^2-x) \, \text{LE}$.

Bei dieser Teilaufgabe geht es darum, die x-Koordinate von $A_3$ zu bestimmen.

Die Raute $A_3B_3C_3D_3$ ist ein Quadrat. Bei einem Quadrat sind nicht nur alle Seitenlängen gleich lang, sondern auch die beiden Diagonalen.

In dieser Aufgabe kennst du bereits die Länge der einen Diagonalen $\overline{B_nD_n}=6 \, \text{LE}$. Für die andere Diagonale hast du in der Aufgabe $B1.3$ bereits eine Formel aufgestellt.

Setze die beiden Diagonalen gleich und berechne damit den $x$-Wert von $A_3$.

Stelle diese Gleichung um und nutze die Mitternachtsformel um sie zu lösen!

$0=x^2-x-16$

$x_{3/4}=\dfrac{1 \pm \sqrt{1-4\cdot (-16) \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

$x_3 = 4{,}53$

$x_4 = -3{,}53$

Die Definitionsmenge unserer Funktionen ist nur im Positiven, daher ist $x_4 = -3{,}53$ keine gültige Lösung.

Der $x$-Wert von $A_3$ ist $x_3=4{,}53$.

Bei dieser Aufgabe sollst du die Koordinaten von $M_n$ bestimmen.

Die Punkte $M_n$ liegen genau in der Mitte der Punkte $A_n$ und $C_n$.

Aus diesem Grund muss für jeweils die $x$- und die $y$-Koordinate die Mitte gefunden werden.

Bei der $x$-Koordinate ist dies einfach, da $A_n$ und $C_n$ dieselbe Abszisse besitzen. Die $x$-Koordinate von $M_n$ ist also $x$.

Bei der $y$-Koordinate musst du jetzt die Mitte herausfinden. Stelle dazu die Formel auf.

$y_{M_n}=\frac{y_{A_n}+y_{C_n}}{2}$

Setze die $y$-Werte von $A_n$ und $C_n$ ein.

$y_{M_n}=\frac{1{,}5\text{log}_{0{,}5}(x)+(-1{,}5\text{log}_{0{,}5}(x-1))}{2}$

Klammere $1{,}5$ aus.

$y_{M_n}=\frac{1{,}5\cdot (\text{log}_{0{,}5}(x)-\text{log}_{0{,}5}(x-1))}{2}$

Vereinfache den Zähler nach den Rechenregeln für den Logarithmus!

$y_{M_n}=\frac{1{,}5\cdot\text{log}_{0{,}5}\left(\frac{x}{x-1}\right)}{2}$

$y_{M_n}=0{,}75\cdot \text{log}_{0{,}5}\left(\frac{x}{x-1}\right)$

Du erhältst für $M_n$:

$M_n = \left( x \; | \; 0{,}75\cdot \text{log}_{0{,}5}\left(\frac{x}{x-1} \right)\right)$

Bei dieser Teilaufgabe sollst du die Gleichung des Trägergraphen der Punkte $D_n$ der Rauten $A_nB_nC_nD_n$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ angeben.

Für den Trägergraphen von $D_n$ benötigst du die Koordinaten von $D_n$, ausgedrückt durch den $x$-Wert von $A_n$ und $C_n$.

Du weißt, dass $D_n$ immer $3 \, \text{LE}$ links von $x$ liegt. Damit kommst du auf die $x$-Koordinate:

$x_{D}= x-3$

Für die $y$-Koordinate kannst du die Höhe des Punktes $M_n$ nutzen. Dessen $y$-Koordinate ist dieselbe wie von $D_n$.

$y_D = 0{,}75 \cdot \text{log}_{0{,}5}\left( \dfrac{x}{x-1}\right)$

Um den Trägergraphen zu bestimmen musst du nun die Gleichung für $x_D$ nach $x$ auflösen und in die Gleichung von $y_D$ einsetzen.

Auflösen nach $x$:

$x=x_D +3$

Einsetzen in $y_D$:

$y_D = 0{,}75 \cdot \text{log}_{0{,}5}\left( \dfrac{x_D+3}{x_D+3-1}\right)$

$y_D = 0{,}75 \cdot \text{log}_{0{,}5}\left( \dfrac{x_D+3}{x_D+2}\right)$

Du erhältst damit den Trägergraphen für $D_n$:

$y= 0{,}75 \cdot \text{log}_{0{,}5}\left( \dfrac{x+3}{x+2}\right)$

Wenn du möchtest, kannst du dir im folgenden Video eine Schritt-für-Schritt Lösung der Aufgabe anschauen,