Aufgaben zu quadratischen Gleichungen

Löse die quadratischen Gleichung und gib die Lösungsmenge an.

$x^{2} - 10 = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wurzel
$x^{2} - 10$ $=$ $0$ $+ 10$
↓
Löse nach $x^{2}$ auf
$x^{2}$ $=$ $10$
Es gibt zwei Zahlen, deren Quadrat 10 ergibt: $\sqrt{10}$ und $- \sqrt{10}$ .
Antwort: Die Gleichung hat die beiden Lösungen $\sqrt{10}$ und $- \sqrt{10}$ .
Die Lösungsmenge ist dann $𝕃 = {- \sqrt{10}; \sqrt{10}}$
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$\frac{1}{3} \cdot x^{2} - 12 = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wurzel
$\frac{1}{3} \cdot x^{2} - 12$ $=$ $0$ $+ 12$
↓
Löse nach $x^{2}$ auf
$\frac{1}{3} \cdot x^{2}$ $=$ $12$ $\cdot 3$
$x^{2}$ $=$ $36$
Es gibt zwei Zahlen, deren Quadrat 36 ergibt: $6$ und $- 6$ .
Antwort: Die Gleichung hat die beiden Lösungen $6$ und $- 6$ .
Die Lösungsmenge ist dann $𝕃 = {- 6; 6}$
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$2 \cdot x^{2} + \frac{1}{2} = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wurzel
$2 \cdot x^{2} + \frac{1}{2}$ $=$ $0$ $- \frac{1}{2}$
↓
Löse nach $x^{2}$ auf
$2 \cdot x^{2}$ $=$ $- \frac{1}{2}$ $: 2$
$x^{2}$ $=$ $- \frac{1}{4}$ $\sqrt{}$
↓
Beachte, dass es keine Lösung gibt, wenn du von einer negativen Zahl die Wurzel ziehen willst.
Antwort: Diese Gleichung hat keine Lösung.
Die Lösungsmenge ist $𝕃 = {}$ .
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$9 \cdot x^{2} + 23 = 6 \cdot x^{2} + 50$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wurzel
$9 \cdot x^{2} + 23$ $=$ $6 \cdot x^{2} + 50$ $- 6 \cdot x^{2}$
↓
Terme mit $x^{2}$ auf eine Seite bringen.
$3 \cdot x^{2} + 23$ $=$ $50$ $- 23$
↓
Nach $x^{2}$ auflösen.
$3 \cdot x^{2}$ $=$ $27$ $: 3$
$x^{2}$ $=$ $9$
Es gibt zwei Zahlen, deren Quadrat 9 ergibt: $3$ und $- 3$ .
Antwort: Die Gleichung hat die beiden Lösungen $3$ und $- 3$ .
Die Lösungsmenge ist dann $𝕃 = {- 3; 3}$
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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$x^{2} - 10$	$=$	$0$	$+ 10$
	↓	Löse nach $x^{2}$ auf
$x^{2}$	$=$	$10$

$\frac{1}{3} \cdot x^{2} - 12$	$=$	$0$	$+ 12$
	↓	Löse nach $x^{2}$ auf
$\frac{1}{3} \cdot x^{2}$	$=$	$12$	$\cdot 3$
$x^{2}$	$=$	$36$

$2 \cdot x^{2} + \frac{1}{2}$	$=$	$0$	$- \frac{1}{2}$
	↓	Löse nach $x^{2}$ auf
$2 \cdot x^{2}$	$=$	$- \frac{1}{2}$	$: 2$
$x^{2}$	$=$	$- \frac{1}{4}$	$\sqrt{}$
	↓	Beachte, dass es keine Lösung gibt, wenn du von einer negativen Zahl die Wurzel ziehen willst.

$9 \cdot x^{2} + 23$	$=$	$6 \cdot x^{2} + 50$	$- 6 \cdot x^{2}$
	↓	Terme mit $x^{2}$ auf eine Seite bringen.
$3 \cdot x^{2} + 23$	$=$	$50$	$- 23$
	↓	Nach $x^{2}$ auflösen.
$3 \cdot x^{2}$	$=$	$27$	$: 3$
$x^{2}$	$=$	$9$

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