Stochastik I - lernen mit Serlo!

Teilaufgabe a)

Das Ereignis $S\cup T$ beschreibt das Ereignis, dass entweder $S$ , $T$ oder beide Ereignisse eintreten. Gesucht ist das Gegenereignis $\overline{S\cup T}$ : Es dürfen also weder $S$ noch $T$ und auch nicht beide Ereignisse eintreten, d.h. es ist identisch mit dem Ereignis $\overline S \cap \overline T$ welches beschreibt, dass bei einem neugeborenen Kind keine Stoffwechselstörung vorliegt und das Testergebnis dies auch richtig angibt.

Teilaufgabe b)

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Die folgenden Werte können der Angabe entnommen werden:

$P(S)=0{,}074\%=0{,}00074$

$P_{S}(T)=99{,}5\%=0{,}995$

$P_{\overline S}(T)=0{,}78\%=0{,}0078$

Damit kannst du die fehlenden Werte berechnen:

$P(\overline S)=1-P(S)=1-0{,}00074=0{,}9926$

$P_{S}(\overline T)=1-P_{S}(T)=1-0{,}995=0{,}005$

$P_{\overline S}(\overline T)=1-P_{\overline S}(T)=1-0{,}0078=0{,}9922$

Gesucht sind die Wahrscheinlichkeiten $P(T)$ und $P_T(S)$ . Berechne die erste über das Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit.

$\displaystyle P(T)$	$=$	$\displaystyle P(S)\cdot P_S(T) + P(\overline S) \cdot P_{\overline S}(T)$
	↓	Setze die Werte ein.
	$=$	$\displaystyle 0{,}00074 \cdot 0{,}995 + 0{,}926 \cdot 0{,}0078$
	$=$	$\displaystyle 8{,}48 \cdot 10^{-3}$
	$≈$	$\displaystyle 0{,}85\%$

Die zweite Wahrscheinlichkeit kann über den Satz von Bayes berechnet werden.

$\displaystyle P_T(S)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{P_S(T)\cdot P(S)}{P(T)}$
	↓	Setze die Werte ein.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{0{,}00074\cdot 0{,}995}{0{,}0085}$
	$≈$	$\displaystyle 0{,}087$
	$=$	$\displaystyle 8{,}7\%$

$P_T(S)$ ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein positiv getestetes Kind auch tatsächlich eine Stoffwechselstörung hat. Da diese mit $8{,}7\%$ äußerst gering ist, ist der Test kein guter Indikator um zu bestimmen, ob bei einem Kind eine Stoffwechselstörung vorliegt.

Teilaufgabe c)

Um die Aufgabe zu lösen, wird die Wahrscheinlichkeit benötigt, dass bei einem Kind eine Stoffwechselstörung vorliegt und das Testergebnis negativ ist (d.h. gesucht ist $P(S\cap \overline T)$ ). Berechne die Wahrscheinlichkeit:

$\displaystyle P(S \cap \overline T)$	$=$	$\displaystyle P(S) \cdot P_{S}(\overline T)$
	↓	Setze die Werte ein.
	$=$	$\displaystyle 0{,}00074\cdot 0{,}005$
	$=$	$\displaystyle 3{,}7 \cdot 10^{-6}$

Multipliziere die Wahrscheinlichkeit mit der Anzahl der getesteten Kinder (1 Million = $10^6$ ).

$3{,}7 \cdot 10^{-6} \cdot 10^6 = 3{,}7$

Es ist also zu erwarten, dass es bei einer Million getesteter Kinder im Mittel $3{,}7$ Kinder gibt, bei denen eine Stoffwechselstörung vorliegt und das Testergebnis negativ ist.