Stochastik I

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bernoulli-Kette

Teilaufgabe a

Die gegebene Situation lässt sich modellieren mit einer Bernoulli-Kette.

Eine Bernoulli-Kette der Länge $n$ besteht aus dem $n$ -maligen, voneinander unabhängigen Wiederholen eines Bernoulli-Experimentes.

Einzelnes Bernoulli-Experiment	Auswahl eines Spenders	Lege nun fest, welches Ergebnis "Treffer" sein soll.
Treffer:	Der Spender hat Blutgruppe A	Die Trefferwahrscheinlichkeit p kann man jetzt aus den in der Tabelle in der Aufgabenstellung angegebenen Werten berechnen.
Trefferwahrscheinlichkeit p	p = 37% + 6% = 43% = 0,43
Bernoulli-Kette der Länge n = 25
X = Anzahl der Treffer	Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, genau 10 Personen mit Blutgruppe A unter den 25 Spendern zu haben.
P(X=10) = ?	Das kannst du mit Hilfe der Formel der Binomialverteilung berechnen:

$P(X=10)=B(25;0{,}43;10)=\begin{pmatrix}25\\10\end{pmatrix}\cdot0{,}43^{10}\cdot\left(1-0{,}43\right)^{25-10}$

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Teilaufgabe a)

Das Ereignis $S\cup T$ beschreibt das Ereignis, dass entweder $S$ , $T$ oder beide Ereignisse eintreten. Gesucht ist das Gegenereignis $\overline{S\cup T}$ : Es dürfen also weder $S$ noch $T$ und auch nicht beide Ereignisse eintreten, d.h. es ist identisch mit dem Ereignis $\overline S \cap \overline T$ welches beschreibt, dass bei einem neugeborenen Kind keine Stoffwechselstörung vorliegt und das Testergebnis dies auch richtig angibt.

Teilaufgabe b)

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Die folgenden Werte können der Angabe entnommen werden:

$P(S)=0{,}074\%=0{,}00074$

$P_{S}(T)=99{,}5\%=0{,}995$

$P_{\overline S}(T)=0{,}78\%=0{,}0078$

Damit kannst du die fehlenden Werte berechnen:

$P(\overline S)=1-P(S)=1-0{,}00074=0{,}9926$

$P_{S}(\overline T)=1-P_{S}(T)=1-0{,}995=0{,}005$

$P_{\overline S}(\overline T)=1-P_{\overline S}(T)=1-0{,}0078=0{,}9922$

Gesucht sind die Wahrscheinlichkeiten $P(T)$ und $P_T(S)$ . Berechne die erste über das Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit.

$\displaystyle P(T)$	$=$	$\displaystyle P(S)\cdot P_S(T) + P(\overline S) \cdot P_{\overline S}(T)$
	↓	Setze die Werte ein.
	$=$	$\displaystyle 0{,}00074 \cdot 0{,}995 + 0{,}926 \cdot 0{,}0078$
	$=$	$\displaystyle 8{,}48 \cdot 10^{-3}$
	$≈$	$\displaystyle 0{,}85\%$

Die zweite Wahrscheinlichkeit kann über den Satz von Bayes berechnet werden.

$\displaystyle P_T(S)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{P_S(T)\cdot P(S)}{P(T)}$
	↓	Setze die Werte ein.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{0{,}00074\cdot 0{,}995}{0{,}0085}$
	$≈$	$\displaystyle 0{,}087$
	$=$	$\displaystyle 8{,}7\%$

$P_T(S)$ ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein positiv getestetes Kind auch tatsächlich eine Stoffwechselstörung hat. Da diese mit $8{,}7\%$ äußerst gering ist, ist der Test kein guter Indikator um zu bestimmen, ob bei einem Kind eine Stoffwechselstörung vorliegt.

Teilaufgabe c)

Um die Aufgabe zu lösen, wird die Wahrscheinlichkeit benötigt, dass bei einem Kind eine Stoffwechselstörung vorliegt und das Testergebnis negativ ist (d.h. gesucht ist $P(S\cap \overline T)$ ). Berechne die Wahrscheinlichkeit:

$\displaystyle P(S \cap \overline T)$	$=$	$\displaystyle P(S) \cdot P_{S}(\overline T)$
	↓	Setze die Werte ein.
	$=$	$\displaystyle 0{,}00074\cdot 0{,}005$
	$=$	$\displaystyle 3{,}7 \cdot 10^{-6}$

Multipliziere die Wahrscheinlichkeit mit der Anzahl der getesteten Kinder (1 Million = $10^6$ ).

$3{,}7 \cdot 10^{-6} \cdot 10^6 = 3{,}7$

Es ist also zu erwarten, dass es bei einer Million getesteter Kinder im Mittel $3{,}7$ Kinder gibt, bei denen eine Stoffwechselstörung vorliegt und das Testergebnis negativ ist.

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Um Geld für die Ausstattung des Spielbereichs in der Kinderstation des Krankenhauses einzunehmen, wird ein Gewinnspiel angeboten. Nachdem der Spieler zwei Euro bezahlt hat, werden aus einem Behälter, in dem sich drei rote, drei grüne und drei blaue Kugeln befinden, drei Kugeln ohne Zurücklegen zufällig entnommen. Haben die drei entnommenen Kugeln die gleiche Farbe, so gewinnt der Spieler und bekommt einen bestimmten Geldbetrag ausgezahlt; ansonsten verliert er und erhält keine Auszahlung. Anschließend werden die gezogenen Kugeln in den Behälter zurückgelegt.

Zeigen Sie, dass bei einem Spiel die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn $\dfrac{1}{28}$ beträgt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kombinatorik
Es handelt sich um ein Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge (da nur die Farbe der Kugeln entscheidend ist). Insgesamt befinden sich in der Urne 9 Kugeln, wobei 3 gezogen werden und der Gewinnfall eintritt, falls alle 3 Kugeln die gleiche Farbe haben. Berechne die Wahrscheinlichkeit durch Teilen der günstigen Fälle durch alle Fälle (Laplace-Wahrscheinlichkeit).
$P(\text{Gewinn})=\underbrace{\dfrac{\binom{3}{3}}{\binom{9}{3}}}_{\mathrm{"rot"}}+\underbrace{\dfrac{\binom{3}{3}}{\binom{9}{3}}}_{\mathrm{"grün"}}+\underbrace{\dfrac{\binom{3}{3}}{\binom{9}{3}}}_{\mathrm{"blau"}}\\\phantom{P(\text{Gewinn})}=\frac{1}{84}+\frac{1}{84}+\frac{1}{84}=\frac{3}{84}=\frac{1}{28}$
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Berechnen Sie, welcher Geldbetrag im Fall eines Gewinns ausgezahlt werden muss, damit im Mittel eine Einnahme von $1{,}25\ €$ pro Spiel für die Ausstattung des Spielbereichs erwartet werden kann.

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle EW$	$=$	$\displaystyle 2\cdot\frac{27}{28}-G\cdot\frac{1}{28}$
	↓	Setze den Erwartungswert gleich 1,25.
$\displaystyle 1{,}25$	$=$	$\displaystyle 2\cdot\frac{27}{28}-G\cdot\frac{1}{28}$	$\displaystyle +G\cdot\frac{1}{28}-1{,}25$
	↓	Schreibe 1,25 als Bruch ( $\frac54$ ).
$\displaystyle G\cdot\frac{1}{28}$	$=$	$\displaystyle \frac{54}{28}-\frac{5}{4}$
	↓	Erweitere den Bruch $\frac54$ .
$\displaystyle G\cdot\frac{1}{28}$	$=$	$\displaystyle \frac{54}{28}-\frac{35}{28}$
$\displaystyle G\cdot\frac{1}{28}$	$=$	$\displaystyle \frac{19}{28}$	$\displaystyle \cdot28$
$\displaystyle G$	$=$	$\displaystyle 19$